$f(x)=\sin 2x+2 \sin x-2 \cos x+2 (0 \leqq x \leqq \pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x-\cos x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=[ア]$である．また，$a^2-ab-b^2=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$に対して，$3$次方程式$ax^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,\ b)=[ウ]$であり，この方程式の実数解は$[エ]$である．
(3)$2$次方程式$\displaystyle ax^2-\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta$，$\cos \theta$であるとき，$a$の値は$[オ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値は$[カ]$である．
(4)直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ -1)$に対して，$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の最小値は$[キ]$であり，このときの$\mathrm{P}$の座標は$[ク]$である．
(5)実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a \cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ケ]<a<[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)すべての実数$x$について，$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$a>0$の範囲で，$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき，その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である．
(3)実数$k$について，方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき，$k$の値の範囲は$[オ]$である．また，その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である．
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり，$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える．$l$が一定のとき，この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを，$l$で表すと$[ケ]$であり，扇形の中心角は$[コ]$度である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$1$より大きい実数$a$が$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=18$を満たすとき，$\displaystyle a+\frac {1}{a}$の値は$\displaystyle a+\frac {1}{a}=[ア]$であり，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}$の値は$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$である．
(2)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\sin \theta=\sin 2\theta$を解くと$\theta=[ウ]$であり，方程式$\sin \theta+\sin 2\theta=\sin 3\theta$を解くと$\theta=[エ]$である．
(3)$a>\sqrt{2}$のとき，$x$の不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{a^2-1} \right)^x<a^4-2a^2+1$を解くと$[オ]$である．また，不等式$(y-1)(\log_23-\log_32^y)>0$を解くと$[カ]$である．
(4)実数$a$に対し，曲線$\displaystyle C:y=x^2+ax+\frac{3}{2}$と直線$\ell:y=2x+1$を考える．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．また，$0<x<1$において$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．

放物線$C:y=x^2-4x$と，$C$上の点$(3,\ -3)$における接線を$y$軸方向に$a$だけ平行移動した直線$\ell$を考える．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a=1$のとき，同一の座標平面に$C$と$\ell$を図示せよ．
(3)$x>0$において，$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$C$の下側で$y$軸と$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

関数$f(x)=4(\sin x-\cos x)^3-3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq \pi)$がある．以下の各問に答えよ．

(1)$t=\sin x-\cos x$とおく．$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)(1)の$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$2$つの不等式
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
3x^2-7x-6>0 & \cdots\cdots① \\
x^2-(a-1)x+2a-6<0 & \cdots\cdots②
\end{array} \right. \]
について考える．ただし，$②$において$a$は$a>5$を満たす実数とする．以下の各問に答えよ．

(1)不等式$①$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不等式$①,\ ②$を同時に満たす$x$の値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

$0 \leqq k \leqq 1$のとき，直線$x-2+ky=0$と直線$-k(x+2)+y=0$について，次の各問に答えよ．

(1)$2$つの直線の交点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標の動く範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．