曲線$C:y=xe^{-x^2}$上の点$(t,\ te^{-t^2})$における接線を$\ell$とする．$t>1$の範囲で$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を最小にするような$t$を$t_0$とし，そのときの$\ell$を$\ell_0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t_0$を求めよ．
(2)$0<x<t_0$の範囲で$C$は上に凸であることを示せ．
(3)$C$と$\ell_0$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$0<r<1$を満たす実数$r$について，座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$と$\mathrm{P}_2(1,\ r)$がある．これらから点$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1}) \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を次の規則に従って定める．

点$\mathrm{P}_{n-1}$から点$\mathrm{P}_n$に向かう方向を時計の針の回転と逆の向きに${90}^\circ$回転し，その方向に点$\mathrm{P}_n$から距離$r^n$だけ進んだ点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_8$の座標を，$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle x=\lim_{m \to \infty}x_{4m}$，$\displaystyle y=\lim_{m \to \infty}y_{4m}$とするとき，点$\mathrm{P}(x,\ y)$の座標を，$r$を用いて表せ．
(3)実数$r$が$0<r<1$の範囲を動くとき，$(2)$の点$\mathrm{P}$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

関数
\[ y=-3 \sin^2 \theta-\cos^2 \theta-\sqrt{3}\sin 2\theta+2 \sqrt{3}\sin \theta+2 \cos \theta+1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$とおくとき$t$の動く範囲を求めよ．
(2)関数$y$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$y$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

曲線$C:y=|x^2-9|-4x$と直線$L:y=k$（$k$は実数）が，すべて異なる$4$つの交点をもつとき，$k$のとりうる範囲は，$m<k<M$となる．$M-m$の値を求めよ．

$2$次関数$y=2x^2-8x+5$について，次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると，グラフの頂点が第$2$象限にくる．このとき，$p,\ q$の値の範囲を求めよ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 5$であるとき，この関数の最大値と最小値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

座標平面上の放物線$C_1$は，点$(1,\ 0)$で$x$軸に接し，点$(0,\ -a)$を通っている．また，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{a}-1$，$y$軸方向に$\displaystyle 1-\frac{1}{a}$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求めよ．
(3)直線$\displaystyle y=(a-1) \left( x-\frac{1}{2} \right)$が$C_2$と異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次関数$y=(2x-1)(ax+b)$のグラフを$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線を$C$とする．$C$が$(1,\ 0)$，$(-1,\ 0)$を通るとき，定数$a$と$b$の値，および$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a \neq b$であり，$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの解$a$と$b$をもつとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)下底が$7$であり，高さが上底よりも$5$だけ長い台形がある．この台形の高さを$x$とするとき，台形の面積が$40$以上$60$以下であるような$x$の値の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．