関数$\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}x(x-1)$を考える．$a$を実数とし，実数$b,\ c$を$b=f(a)$，$c=f(b)$により定める．

(1)不等式$a<b$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)連立不等式
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
a<b \\
b>c
\end{array} \right. \]
を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)の連立不等式$(*)$が成り立つとき，$c$と$f(c)$の大小を判定せよ．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$C$の上半円周（$y$座標が正の部分）上を動く点を$\mathrm{P}$，下半円周（$y$座標が負の部分）上を動く点を$\mathrm{Q}$とする．$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\alpha \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$，$\displaystyle \angle \mathrm{QAB}=\beta \ \left( 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，直線$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(t,\ 0)$とする．

(1)$t$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さと線分$\mathrm{RQ}$の長さの比が$2:1$のとき，$t$を$\alpha$を用いて表せ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．
（図は省略）

(1)$C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3)$C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．

$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(1)点$\mathrm{R}$の座標が$(\sin 2t \sin t,\ \sin 2t \cos t)$で表されることを証明せよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の描く曲線を$C$と表す．曲線$C$上で，$y$座標が最大となる点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$x>0$の範囲で関数$f(x)$を，$\displaystyle f(x)=\int_0^2 (|t^2-2xt|+xt) \, dt$により定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<x \leqq 1$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=4x+k$が異なる$2$点で交わるように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$m,\ n$を自然数とするとき，次の不定積分を計算せよ．
\[ \int \cos mx \cos nx \, dx \]
(2)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ \sin t)$をとる．ここで$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，直線$\mathrm{PQ}$が原点$\mathrm{O}$を通るときは$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$と定める．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときに$\mathrm{R}$の描く曲線と，直線$y=x$により囲まれる図形の面積を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$C_1:y=\sin 2x$と曲線$C_2:y=\cos x$の交点の$x$座標を$a,\ b,\ c \ (a<b<c)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)交点$(b,\ \sin 2b)$における$2$つの曲線$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)$a \leqq x \leqq b$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$b \leqq x \leqq c$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(4)曲線$C_1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．

$-\infty<x<\infty$で定義される$2$つの関数$f(x)=|\cos x|\sin x$，$g(x)=e^{-x}f(x)$について，以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．ただし，$x$の範囲は，$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ．
(2)すべての$x$に対し，$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち，最小の値$\omega$を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ．

$f(x)=x^2-x$とする．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=2x$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|$のグラフの共有点の座標を求めよ．
(ii) 関数$y=f(x)$と$y=2 |x|+k$のグラフの共有点の個数が$2$となる定数$k$の値の範囲を求めよ．