次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]

$\triangle \mathrm{OAB}$は，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす．$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ．
(4)$\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする．

(i) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ．
(ii) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

$a$を実数とする．直線$y=3x-a$を$\ell$とし，曲線$y=2x^3-3x$を$C$とする．

(1)$a=0$のとき，直線$\ell$と曲線$C$の共有点の座標を求めなさい．
(2)直線$\ell$と曲線$C$の共有点の個数が$3$個となるように$a$の範囲を求めなさい．

$2$つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，$2$つのさいころで同じ目が出た場合は得点は$0$点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，下の得点表において，$\mathrm{A}$君は$2$回で投げるのを止めて$18$点，$\mathrm{B}$君は$3$回目で「$6$と$6$」を出してしまったので$0$点となる．$\mathrm{C}$君は$1$回さいころを投げたところである．以下の問いに答えよ．

\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$君 & $\mathrm{B}$君 & $\mathrm{C}$君 \\ \hline
$1$回目 & $3$と$6$ & $1$と$3$ & $5$と$6$ \\
$2$回目 & $4$と$5$ & $4$と$6$ & \\
$3$回目 & 止 & $6$と$6$ & \\ \hline
得点 & $18$ & $0$ & \\ \hline
\end{tabular}


(1)$2$つのさいころを$1$回だけ投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(2)$\mathrm{C}$君がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの，得点の期待値を求めよ．
(3)これまでに出した目の合計が$x$である人がいる．この人がもう$1$回さいころを投げてゲームを止めたときの得点の期待値$y$を，$x$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた$y$について，$y<x$となる$x$の範囲を求めよ．

$a$は$a>1$を満たす定数とし，$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=|x^2-a|$，$g(x)=-|x+1|+a$とする．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を書け．
(2)$y=g(x)$のグラフの概形を書け．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの交点が$2$個，$3$個，$4$個になるときの$a$の範囲または値をそれぞれ求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=1$を満たす．内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$t$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$となるとき，$t$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

確率変数$X$のとる値の範囲が$0 \leqq X \leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられるものとする．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{k}{a}x & (0 \leqq x \leqq a) \\
\displaystyle\frac{k}{2-a}(2-x) & (a<x \leqq 2)
\end{array} \right. \]
ここで，$a,\ k$は$0<a<1,\ k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．

(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．
(3)$P(X \leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．

$xy$平面において，曲線$y=e^x$と$3$直線$y=x+1,\ x=1,\ x=-1$で囲まれた部分を$D$とする．ただし$e$は自然対数の底である．次の各問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^x-(x+1)$の増減，極値，凹凸を$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上に$2$つの曲線
\[ \begin{array}{llll}
C_1: & y=\tan x+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right) \\
C_2: & \displaystyle y=\sqrt{3}k \left( \cos 2x-\frac{1}{2} \right) & & \displaystyle\left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right)
\end{array} \]
がある．ただし$k$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan x$とおく．$\cos 2x$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle k=-\frac{4}{3}$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$1$になるときの$k$の範囲を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 0)$がある．$0<t<1$のとき，線分$\mathrm{AO}$，$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$t=0$，$t=1$のとき，$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に一致するものとし，$t$を$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$を媒介変数$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{R}$と原点$\mathrm{O}$の距離の最小値を求めよ．
(3)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．