$xyz$空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$を通る平面上にあり，正三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円板を$D$とする．円板$D$の中心を$\mathrm{P}$，円板$D$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)円板$D$が平面$z=t$と共有点をもつ$t$の範囲を求めよ．
(3)円板$D$と平面$z=t$の共通部分が線分であるとき，その線分の長さを$t$を用いて表せ．
(4)円板$D$を$z$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
（図は省略）

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．$-1 \leqq \tan x \leqq \sqrt{3}$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=\sin x+2 \cos x$の最大値と最小値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．（$C$は右図のように \\
なっている．）以下の各問に答えよ．
\img{85_2188_2013_1}{40}


(1)曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき，(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ．
(4)$t$が(3)で求めた範囲にあるとき，$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする．$c=\cos t$として，$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ．
(5)(4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき，直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ．

$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく．また，$2$次の単位行列を$E$で表す．以下の各問に答えよ．

(1)$A^3=E$を示せ．
(2)$r$を実数とする．自然数$k$に対して，行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき，$a_k$を$r$を用いて表せ．
(3)自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする．ただし$a_k$は，$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし，$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく．$-1<r<1$のとき，$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ．
(4)$r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき，(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-2x^2+2x & (x \geqq 0) \\
x^2+2x & (x<0)
\end{array} \right.$に対して，関数$F(x)$を$\displaystyle F(x)=\int_{-3}^x f(t) \, dt$と定め，曲線$y=F(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$F(x)$の増減を調べて，$-3 \leqq x \leqq 2$の範囲で$y=F(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)曲線$C$上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$における$C$の接線の傾きが等しいとし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$b<0$とする．
(3)曲線$C$上の$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$における$C$の接線の傾きが等しいとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$a>b>c$であるとする．このとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，さらに$a-b=b-c$であるときの$a$の値を求めよ．

下の問いに答えよ．

(1)方程式$x \cos x=\sin x$は$\displaystyle \frac{4\pi}{3}<x<2\pi$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解を$\alpha$とおくとき，$0<x<2\pi$において不等式
\[ \frac{\sin x}{x} \geqq -\frac{1}{\sqrt{1+\alpha^2}}>-\frac{3}{4\pi} \]
が成り立つことを示せ．

次の設問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-ax-a+8=0$が，異なる$2$つの正の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)次の等式を満たす実数$x$の値を求めよ．
\[ |x|+2 |x-2|=x+2 \]

$\displaystyle 0<a<\frac{1}{3},\ b>0$とする．放物線$y=x^2-2a^2x$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C$とする．直線$\ell:y=b$と$C$とが$0<x<a$の範囲で交わっている．さらに，$C$と$\ell$と$y$軸で囲まれる部分の面積と，$C$と$\ell$と直線$x=a$で囲まれる部分の面積が等しい．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$b$を最大にする$a$の値と，そのときの$b$の値を求めよ．

$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$上で関数
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．

(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．