$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす実数$t$に対して，$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1+2t,\ (1+t)\cos t+\sin t)$，$\mathrm{B}(-1,\ -(1+t)\cos t+\sin t)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_t$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を求めよ．
(2)$k$を定数とし，直線$\ell_t$と直線$x=k$との交点を$\mathrm{P}$とする．$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる値の範囲を$k$を用いて表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，直線$\ell_t$の通りうる領域を図示せよ．

$2$つの曲線$C_1:y=|x^2-1|$，$C_2:y=m(x+1)^2 \ (0<m<1)$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$の範囲における$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$を$m$を用いて表せ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形のうち，$x \leqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_1$，$x \geqq \alpha$を満たす部分の面積を$S_2$とおく．$S_1,\ S_2$を，$m$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$のとき$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面において，点$(-2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$y=ax+b$を$\ell$とし，この直線$\ell$は，円$C_1$と円$C_2$の両方と共有点をもつものとする．

(1)$b=0$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$b=0$で$a$が求めた範囲を動くとき，直線$\ell$の通る領域を図示せよ．
(2)$a \geqq 0$のとき，$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

$2$つの円$x^2+y^2=1$と$\displaystyle (x-a)^2+y^2=\frac{a^2}{4} \ (a>0)$が相異なる$2$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)第$1$象限の交点における$2$つの円の接線が直交するとき，$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3ax$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数$k$が$0<k \leqq \sqrt{a}$の範囲にあるとき，$-k \leqq x \leqq 2k$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの実数解がともに$1$以上$5$以下であるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)多項式$4x^4+7x^2+16$を因数分解せよ．

関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．

$x$が$3<x<6$の範囲にあるとき，次の問に答えよ．

(1)この範囲ではつねに$\displaystyle \frac{1}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq 3$が成立することを示せ．

(2)この範囲でつねに$\displaystyle \frac{5}{x-3}+\frac{4}{6-x} \geqq a$が成立するような$a$の最大値を求めよ．

定数$a,\ b$と自然対数の底$e$に対して，$f(x)=(ax+b)e^{-x}$とおく．曲線$y=f(x)$は点$(0,\ 2)$を通り，その点における接線の傾きは$2$であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．