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国立 広島大学 2013年 第5問座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
国立 広島大学 2013年 第5問次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式
\[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \]
がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$x \geqq 2$のとき，$x^4e^{-3x} \leqq 16e^{-6}$を示せ．また，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^3e^{-3x}$を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$x>0$の範囲で方程式
\[ xe^{-3x}=\frac{k}{x^2} \]
がちょうど$2$つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の$\alpha,\ \beta$が$\beta=2 \alpha$を満たすとき，曲線$y=xe^{-3x} (x>0)$と曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x^2} (x>0)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2013年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin x+\cos x$の値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{3\pi}{4}$をみたしながら変わるとき，$\sin 2x-\sin x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第2問$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$に対して，関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
\[ f(\theta)=\frac{2}{3}\sin 3\theta-\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \]
とおく．$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$を示せ．また，$\displaystyle \frac{t^3-3t}{2}=\sin 3\theta$が成り立つことを示せ．
(3)$f(\theta)$を$t$の式で表せ．また，それを利用して$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値，最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第2問座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円が領域$D$に含まれるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$が最小となる$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
国立 東京医科歯科大学 2013年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)実数$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ \tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha \]
の値は一定であることを示せ．
(3)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)実数$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ \tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha \]
の値は一定であることを示せ．
(3)実数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2},\ 0<\gamma<\frac{\pi}{2},\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$を満たすとき，
\[ \tan \alpha+\tan \beta+\tan \gamma \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -2)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} \geqq 0$を満たす平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$からなる領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$1 \leqq s+t \leqq 2$を満たす実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．
(1)実数$k$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{Q}$が領域$D$に含まれるとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$1 \leqq s+t \leqq 2$を満たす実数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定まる点$\mathrm{R}$からなる領域を$E$とする．このとき，領域$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第3問半径$1$，中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第3問半径$1$，中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．