$a$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1 \leqq x \leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．

実数$x,\ y,\ s,\ t$に対し，$z=x+yi,\ w=s+ti$とおいたとき，
\[ z=\frac{w-1}{w+1} \]
をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$w$を$z$で表し，$s,\ t$を$x,\ y$で表せ．
(2)$0 \leqq s \leqq 1$かつ$0 \leqq t \leqq 1$となるような$(x,\ y)$の範囲$D$を座標平面上に図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$を動いたとき，$-5x+y$の最小値を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$に対し，$xy$平面の第1象限の点$\mathrm{P}$および$x$軸の正の部分にある点$\mathrm{Q}$を
\[ \angle \mathrm{QOP}=\theta,\quad \angle \mathrm{PQO}=2\theta,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
を満たすようにとる．$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$，$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ C_2$を求め，それらを図示せよ．
(3)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

$f(x)=\sqrt{2}\sin x \cos x+\sin x+\cos x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$の関数で表せ．
(2)$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

$1$個のさいころを$n$回投げ，出た目の最大値を$X_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X_n$が$k$以下である確率$p_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(2)$X_n$が$k$である確率$q_k$を求めよ．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)$X_n$の期待値を$n=2$の場合に求めよ．
(4)$X_n$の期待値が$4.5$以上となる$n$の範囲を求めよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形は$2$つある．それぞれの正三角形について，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の頂点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた$2$点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{C}$とする．$t$を動かすとき，点$\mathrm{C}$の軌跡を図示せよ．
(3)$k$を定数とする．点$\mathrm{B}$と直線$y=kx$上の点$\mathrm{P}$をそれぞれうまく選ぶことで$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を頂点とする正三角形ができるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

放物線$y=2x^2-8$を$C$とする．$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0) \ (a>0)$を通り$C$と接する直線が$2$本あるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$つの接点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．$\beta-\alpha=3$のとき，$a$の値と$2$本の接線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．

$C$を$xy$平面上の放物線$y=x^2$とする．不等式$y<x^2$で表される領域の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$つの接線に対して，それぞれの接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．また，$2$つの接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，等式
\[ \int_p^q (x-p)^2 \, dx=\frac{(q-p)^3}{3} \]
を用いてもよい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(a,\ b)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S=\frac{(\beta-\alpha)^3}{12}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^3-1 \ (-1 \leqq x \leqq 1)$上を動くとき，$(\beta-\alpha)^2$の値の範囲を調べよ．さらに，$S$の最大値および最小値を与える点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(2)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．
(3)領域$D$から異なる格子点を$2$つ選ぶとき，互いに隣接点である確率を求めよ．ただし，異なる格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．