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私立 桜美林大学 2014年 第3問$a$を実数の定数とする．$C:x^2+y^2+2ax-4ay+6a^2-1=0$について，以下の問に答えなさい．
(1)$C$が円を表すとき，$a$の取りうる値の範囲は，$[ノ]<a<[ハ]$である．
(2)$C$が半径最大の円となるとき，その中心の座標は，$([ヒ],\ [フ])$である．
(3)$C$が円を表すとき，その中心の軌跡は，
直線$y=[ヘ]x$の$[ホ]<x<[マ]$の部分である．
(1)$C$が円を表すとき，$a$の取りうる値の範囲は，$[ノ]<a<[ハ]$である．
(2)$C$が半径最大の円となるとき，その中心の座標は，$([ヒ],\ [フ])$である．
(3)$C$が円を表すとき，その中心の軌跡は，
直線$y=[ヘ]x$の$[ホ]<x<[マ]$の部分である．
私立 北里大学 2014年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．
(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．
私立 獨協医科大学 2014年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．
(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．
私立 北海学園大学 2014年 第1問$x$の$2$次関数$y=x^2-(2a^2-4a)x+a^4-4a^3+3a^2+1$のグラフについて，次の問いに答えよ．ただし，$a$は$0<a<2$を満たす実数とする．
(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線$y=-x$上にあるような$a$の値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が$1$以上となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)頂点の座標を求めよ．
(2)頂点が直線$y=-x$上にあるような$a$の値を求めよ．
(3)原点と頂点を通る直線の傾きの絶対値が$1$以上となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第3問対角線が$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$である平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$8 \sqrt{15}$であり，三角形$\mathrm{ABD}$は鋭角三角形である．このとき，頂点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とし，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{AH}=x$，$\mathrm{BD}=y$とする．ただし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 広島工業大学 2014年 第4問$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．
(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．
(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．
私立 星薬科大学 2014年 第4問次の問に答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．
私立 東京薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．
(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．
(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．
(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．
私立 東京薬科大学 2014年 第4問中心$\mathrm{O}$，半径$1$の円周上に定点$\mathrm{A}$と動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は常に$\angle \mathrm{PAQ}={120}^\circ$を満たしながら動いている．$\angle \mathrm{OAP}=\theta$として次の各問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．
(1)$\theta$の動ける範囲は${[あい]}^\circ<\theta<{[うえ]}^\circ$である．
(2)$\mathrm{AP}$，$\mathrm{AQ}$を$\sin \theta$，$\cos \theta$を用いて表すと，
\[ \mathrm{AP}=[お] \cos \theta,\quad \mathrm{AQ}=\sqrt{[か]} \sin \theta+[$*$ き] \cos \theta \]
となる．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどこにあっても常に$\displaystyle \frac{\sqrt{[く]}}{[け]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S(\theta)$を$\sin 2\theta$，$\cos 2\theta$を用いて表すと，
\[ S(\theta)=\frac{[こ]}{[さ]} \sin 2\theta-\frac{\sqrt{[し]}}{[す]} \cos 2\theta-\frac{\sqrt{[せ]}}{[そ]} \]
となり，$S(\theta)$は$\theta={[たち]}^\circ$のとき最大値$\displaystyle \frac{\sqrt{[つ]}}{[て]}$をとる．