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私立 京都女子大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}},\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$のとき，$a^2+4ab+b^2$および$a^3+2a^2b+2ab^2+b^3$の値を求めよ．
(2)不等式$3-2x \leqq |3x-2|<10+x$を解け．
(3)数直線上の集合$A=\{x | -a-1<x<a^2\},\ B=\{x | -2 \leqq x \leqq 3\}$において，$A \subset B$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
(1)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-x+4<9 \\
3x-2<a \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす整数$x$が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+2kx+k+12=0$が実数解をもち，それがすべて正となるような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$a^2=b^2+c^2+bc$のとき，$\angle \mathrm{A}$を求めよ．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．
(4)$0^\circ \leqq x \leqq {180}^\circ$であるとき，不等式$2 \sin^2 x-5 \cos x+1 \leqq 0$を解け．
私立 早稲田大学 2014年 第2問以下の不等式$(ⅰ)$～$\tokeigo$をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S$とする．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
$(ⅰ)$ $-x+2y \leqq 20$
$(ⅱ)$ $2x+3y \leqq 44$
$(ⅲ)$ $4x-y \leqq 32$
$\tokeishi$ $x \geqq 0$
$\tokeigo$ $y \geqq 0$
次の問いに答えよ．
(1)領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,\ y)$の$x$座標は$[オ]$，$y$座標は$[カ]$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$[キ]$である．
(2)$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，$(1)$で求めた点$\mathrm{A}(x,\ y)$のみの場合，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値の範囲は
\[ [ク]<\frac{a}{b}<[ケ] \]
である．
(3)$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$がとりうる値は$[コ]$である．
(4)$c$を実数とし，上記の不等式$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$\tokeishi$，$\tokeigo$と不等式
\[ (ⅲ)^* 4x-y \leqq c \]
をすべて満たす点$(x,\ y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^*$において$x+3y$の最大値が$(1)$で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$[サ]$である．
私立 早稲田大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$から$[$6$]$にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
(1)$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$[$1$]<a<[$2$]$である．
(2)硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=[$3$]$である．
(3)不等式$\displaystyle \frac{a}{19}<\log_{10}7<\frac{b}{13}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．必要に応じて次の事実を用いてもよい．
\[ \begin{array}{lll}
7^1=7 & 7^2=49 & 7^3=343 \\
7^4=2401 & 7^5=16807 & 7^6=117649 \\
7^7=823543 & 7^8=5764801 & 7^9=40353607 \\
7^{10}=282475249 & 7^{11}=1977326743 & 7^{12}=13841287201 \\
7^{13}=96889010407 & 7^{14}=678223072849
\end{array} \]
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7,\ 8,\ 9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[$6$]$である．
私立 昭和大学 2014年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$(1$-$1)$ 連立不等式$600<2^{x+2}-2^x<900$を満たす自然数$x$を求めよ．
$(1$-$2)$ 連立不等式$21<\log_2 x^6<22$を満たす自然数$x$を求めよ．
(2)$(2$-$1)$ $0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\sqrt{3} \sin x-\cos x=a$が相異なる$2$つの解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(2$-$2)$ $2$次方程式$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$の$2$つの解を$\tan \alpha$，$\tan \beta$とするとき，$\alpha+\beta$の値を求めよ．ただし，$0<\alpha+\beta<\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\angle \mathrm{AOB}={120}^\circ$とし，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ $\mathrm{AH}:\mathrm{HB}$を求めよ．
$(3$-$2)$ $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
私立 昭和大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 大同大学 2014年 第1問次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．