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国立 東京海洋大学 2014年 第4問座標平面上の放物線$C:y=-x^2+2ax-a^2+a+1$を考える．$a$が実数の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
(1)$C$と放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{2}$との$2$つの共有点を結んだ線分の中点（共有点が$1$つの場合にはその点自身とする）が描く軌跡の長さを求めよ．
(2)$\displaystyle y \geqq x^2+\frac{1}{2}$の表す領域のうちで$C$が通過する部分の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第1問$-a<x<a$で定義された曲線$C:y=x \sqrt{a^2-x^2}$がある．ただし$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
(1)$y$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$と直線$\displaystyle L:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$が$3$つの共有点を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．またそのときの共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$3$つの共有点のうち，$x$座標の値が最も大きい点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と，直線$L$および$y$軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数$a$の値を求め，その正三角形の面積を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第3問関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第4問$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$は，$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\sqrt{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{B}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}=\theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を満たす．下図のように，点$\mathrm{A}_1$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_2$とし，点$\mathrm{B}_2$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_2 \mathrm{A}_2$とする．次に，点$\mathrm{A}_2$から辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_3$とし，点$\mathrm{B}_3$から辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$に下ろした垂線を$\mathrm{B}_3 \mathrm{A}_3$とする．この操作を繰り返し，辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\cdots$を，辺$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}$上に点$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\cdots$を定める．自然数$n$に対し，$\triangle \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{B}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，これらの面積の総和を$\displaystyle T=\sum_{n=1}^\infty S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$S_1=\sin \theta \cos^3 \theta$，$S_2=\sin^5 \theta \cos^3 \theta$を示し，一般項$S_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle T=\frac{\sin \theta \cos \theta}{1+\sin^2 \theta}$を示せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$T$の最大値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．関数$f(x)=(x-\cos \theta+\sin \theta)^2+2 \sin^2 \theta-1$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が実数解を持つような$\theta$の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解を持つとき，その二つの解を$\alpha,\ \beta$とする．このとき，$\alpha+\beta$の最大値および最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積が$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$となるときの$\theta$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第3問$a,\ b$は実数で$a>0$，$b>1$とする．放物線$y=ax^2+1$と直線$y=b$との交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}_1$とし，放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$と直線$y=b$の交点で第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}_2$とする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の間の距離を$d$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$のとき，$d \leqq 1$であるための$b$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
国立 高知大学 2014年 第1問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 高知大学 2014年 第3問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第3問$a>0$，$a \neq 1$，$b>0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=4x^2+4x \log_ab+1 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(2)$2$次方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(3)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,\ Y)$とする．点$(a,\ b)$が$(2)$の条件を満たしながら動くとき，点$(X,\ Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．
\[ f(x)=4x^2+4x \log_ab+1 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(2)$2$次方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(3)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,\ Y)$とする．点$(a,\ b)$が$(2)$の条件を満たしながら動くとき，点$(X,\ Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．