$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PM}+\mathrm{MQ}$が最小となる$\mathrm{OB}$上の点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{PN}+\mathrm{NQ}$が最小となる$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{QMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{QMN}$の面積の最大値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点，点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする．以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<1$に対し，$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．また，$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を，それぞれ$t$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ．

$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\theta$の関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．

$a$を$a \geqq 0$となる実数とし，$\theta$の関数$f(\theta)$を
\[ f(\theta)=2 \sin 2\theta+4a(\cos \theta-\sin \theta)+1 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos \theta-\sin \theta$とおく．このとき，$f(\theta)$を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(\theta)$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．

座標平面上の曲線$y=|x^2+2x|$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と直線$y=x+2$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=x+2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$y=x+a$がちょうど$2$つの共有点をもつような実数$a$の値の範囲を求めよ．

$a$を実数とする．このとき，座標空間内の球面$S:x^2+y^2+z^2=1$と直線$\ell:(x,\ y,\ z)=(2,\ -1,\ 0)+t(-1,\ a,\ a)$について，次の問いに答えよ．

(1)$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$の値が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$S$と$\ell$の$2$つの交点の間の距離$d$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$d$が最大となるような実数$a$の値とそのときの$d$を求めよ．

実数$a,\ b$は，$-1<x<1$に対して$-3<x^2-2ax+b<5$を満たすものとする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が表す領域を図示せよ．
(2)座標平面上で，直線$x=0$，直線$x=1$，直線$y=-3$，曲線$y=x^2-2ax+b$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$の取りうる値の範囲を求めよ．

すべての実数$x,\ y$に対して不等式
\[ \frac{1}{1+x^2+(y-x)^2} \leqq \frac{a}{1+x^2+y^2} \]
が成り立つとき，$a$の値の範囲を求めよ．