実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$a$は定数とし，直線$x=a$と$\ell$の交点の$y$座標を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くときの$f(t)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=xe^x-x^2-ax$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ f(0))$における接線の傾きを$-1$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)$b$を実数とするとき，$2$つの曲線$y=xe^x$と$y=x^2+ax+b$の$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲での共有点の個数を調べよ．

四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90^\circ$をみたす．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$，$\displaystyle pq=\frac{1}{2}$となるようにとる．$p+q=t$とし，$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$S$を$t$で表せ．
(3)$S$の最小値，およびそのときの$p,\ q$を求めよ．

$a>1$とし，次の不等式を考える．
\[ (*) \quad \frac{e^t-1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}}\]

(1)$a=2$のとき，すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つことを示せ．
(2)すべての$t>0$に対して上の不等式$(*)$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$a$に対し，関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} |t+1| \, dt+a$を考える．曲線$C:y=f(x)$が$x$軸と$2$個の共有点を持つための$a$の範囲を求めよ．またこのとき曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$\displaystyle x=t+\frac{1}{3t} \left( 0<t \leqq \frac{1}{2} \right)$とする．

(1)$x$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x$の方程式$x^2+ax+b=0$が$(1)$の範囲に少なくとも$1$つの解をもつような点$(a,\ b)$の存在範囲を図示せよ．

$f(x)=x^3-x$とする．$y=f(x)$のグラフに点$\mathrm{P}(a,\ b)$から引いた接線は$3$本あるとする．$3$つの接点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\gamma,\ f(\gamma))$を頂点とする三角形の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\alpha+\beta+\gamma$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$および$\alpha\beta\gamma$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{G}$の$x$座標が正で，$y$座標が負となるような点$\mathrm{P}$の範囲を図示せよ．

関数$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$を$x>0$で考える．$y=f(x)$のグラフの点$(a,\ f(a))$における接線を$\ell_a$とし，$\ell_a$と$y$軸との交点を$(0,\ Y(a))$とする．以下の問いに答えよ．ただし，実数$k$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^ke^{-t}=0$であることは証明なしで用いてよい．

(1)$Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$0<a<b$である$a,\ b$に対して，$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，$b$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$a,\ b$に対して，$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ．

$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．