以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．線分$y=\sqrt{3}x (0 \leqq x \leqq 2)$上の点$\mathrm{P}$と，線分$y=-\sqrt{3}x (-3 \leqq x \leqq 0)$上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{OQ}$の長さの和が$6$となるように動く．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．

(1)$s$を$-3 \leqq s \leqq 2$をみたす実数とするとき，点$(s,\ t)$が$D$に入るような$t$の範囲を求めよ．
(2)$D$を図示せよ．

座標平面上の直線$y=-1$を$\ell_1$，直線$y=1$を$\ell_2$とし，$x$軸上の$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$を考える．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，次の条件を考える．
\[ d(\mathrm{P},\ \ell_1) \geqq \mathrm{PO} \quad \text{かつ} \quad d(\mathrm{P},\ \ell_2) \geqq \mathrm{PA} \quad \cdots\cdots① \]
ただし，$d(\mathrm{P},\ \ell)$は点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離である．

(1)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$全体がなす図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．ただし，$a$の値は$(1)$で求めた範囲にあるとする．

座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．

$u$を実数とする．座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
C_1: & y=-x^2+1 \\
C_2: & y=(x-u)^2+u
\end{array} \]
を考える．$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$u$の値の範囲は，ある実数$a,\ b$により，$a \leqq u \leqq b$と表される．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき，$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．ただし，共有点が$1$点のみのときは，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し，ともにその共有点を表すとする．
\[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \]
を$u$の式で表せ．
(3)$(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする．定積分
\[ I=\int_a^b f(u) \, du \]
を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+ax^2+x-2$と直線$\ell:y=bx-2$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$3$つの交点それぞれにおける$C$の接線の中に，傾きが$1$より大きいものと，$1$より小さいものがどちらも存在するための$a,\ b$の条件を求め，その条件をみたす$ab$平面上の点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

実数の定数$a,\ b$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{ax+b}{x^2+x+1} \]
で定める．すべての実数$x$で不等式
\[ f(x) \leqq f(x)^3-2f(x)^2+2 \]
が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$t$を実数とする．$y=x^3-x$のグラフ$C$へ点$\mathrm{P}(1,\ t)$から接線を引く．

(1)接線がちょうど$1$本だけ引けるような$t$の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$\mathrm{P}(1,\ t)$から$C$へ引いた接線と$C$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の取りうる値の範囲を求めよ．

$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

実数$t$に対して$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t+1,\ (t+1)^2)$を考える．$t$が$-1 \leqq t \leqq 0$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形を図示し，その面積を求めよ．