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公立 奈良県立医科大学 2015年 第15問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$の範囲で，曲線$y=\cos x$と曲線$y=\cos 2x$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
公立 県立広島大学 2015年 第1問$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．
公立 県立広島大学 2015年 第3問$s,\ t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$と動点$\mathrm{P}(s,\ s+2,\ t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{\mathrm{0}}$である．次の問いに答えよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
公立 広島市立大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=(x-1)^2 \sqrt{2x+1} \left( x \geqq -\frac{1}{2} \right)$を考える．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求め，$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{1}{2}+0} f^\prime(x)$を調べよ．ただし，$x>a$の範囲で$x$が$a$に限りなく近づくとき，$x \to a+0$と表す．
(2)関数$f(x)$の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸や変曲点は調べなくてよい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 京都府立大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
公立 札幌医科大学 2015年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．
公立 宮城大学 2015年 第5問平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たすとき，次の問いに答えなさい．ここで，$t$は実数とする．
(1)$t=0$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$に対して，点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか．また，面積比$\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}:\triangle \mathrm{PAB}$を求めなさい．
(2)$t$が実数全体を変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を表すかを式で求めなさい．さらに，点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるための$t$の範囲を求めなさい．
(1)$t=0$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$に対して，点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか．また，面積比$\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}:\triangle \mathrm{PAB}$を求めなさい．
(2)$t$が実数全体を変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を表すかを式で求めなさい．さらに，点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるための$t$の範囲を求めなさい．
公立 名古屋市立大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$に対して，$\overrightarrow{p}=-\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{q}=\frac{1}{5}(\overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b})$とする．$|\overrightarrow{p}|=5$，$|\overrightarrow{q}|=2$であるとき，次の問いに答えよ．
(i) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$をそれぞれ$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を用いて表せ．
(ii) $\sqrt{2} \, |\overrightarrow{a}|=3 \, |\overrightarrow{b}|$のとき，内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\frac{7}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(i) $t=\cos x-\sin x$とおく．$t$のとりうる値の範囲を求め，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(ii) $f(x)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．
公立 札幌医科大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$
座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$
座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．
公立 会津大学 2015年 第4問$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)白玉$4$個，赤玉$3$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率を求めよ．
(2)白玉$4$個，赤玉$n$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率$p_n$を求めよ．
(3)$p_n>p_{n+1}$をみたす$n$の範囲を求めよ．
(4)$p_n$が最大となる$n$をすべて求めよ．
(1)白玉$4$個，赤玉$3$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率を求めよ．
(2)白玉$4$個，赤玉$n$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率$p_n$を求めよ．
(3)$p_n>p_{n+1}$をみたす$n$の範囲を求めよ．
(4)$p_n$が最大となる$n$をすべて求めよ．