次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．

曲線$y=x^3-2x \cdots\cdots①$と直線$y=x+k \cdots\cdots②$がある．

(1)$k$の範囲が$[$4$]$のとき，曲線$①$と直線$②$は異なる$3$点を共有する．
(2)$k>0$とする．曲線$①$と直線$②$が異なる$2$点を共有するとき，$1$つは接点で，もう$1$つの共有点の$x$座標は$[$5$]$である．

$x$についての$2$次方程式
\[ 5x^2-4ax-10x+a^2+4a-5=0 \]
が異なる$2$つの正の実数解をもつ．このとき，定数$a$の値の範囲を求めなさい．

座標平面において曲線$y=k(1-x^2)-1$（$k$は正の定数）を$C_1$とし，曲線$y=1-|x|$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$C_1$は$k$の値によらない定点を通る．この定点の座標をすべて求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$が共有点をもつような正の定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の定数$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めなさい．

関数
\[ f(x)=\sqrt{2} \sin x-\sqrt{2} \cos x-\sin 2x \]
に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle t=\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表しなさい．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=a$が$0 \leqq x<2\pi$の範囲で相異なる$2$つの解をもつための実数$a$の条件を求めなさい．

$m>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$を求めよ．
(3)$(2)$の$f(x)$に対し，$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする．$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき，$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

$f(x)=k(1-x)^2x^3$とする．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．ただし，$k$は
\[ \int_0^1 k(1-x)^2x^3 \, dx=1 \]
を満たす実数とする．