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私立 神奈川大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第15問$k$を実数とする．$x$の$3$次方程式$x(x^2-4k+4)+k(k-2)^2=0$の解がすべて実数であるような$k$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]} \leqq k \leqq [ツ]$である．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．
私立 昭和大学 2015年 第5問関数$\displaystyle y=\sin 2x+2 \sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)+\frac{5}{4}$および$u=\sin x+\cos x$について以下の各問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，関数$u$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$u$で表せ．
(3)$y$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．
私立 九州産業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
私立 昭和大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け．
(2)$a$を実数とする．$x$の$4$次方程式$(x^2+ax+1)(x^2+x+a)=0$が異なる$2$つの実数解と異なる$2$つの虚数解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(3)$x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$を因数分解せよ．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$のグラフの$x=\pi$における接線の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(2 \cos {30}^\circ,\ 2 \sin {30}^\circ)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{OBA}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$を満たす．このとき$a$の値を求めよ．ただし，$a<\sqrt{3}$とする．
(3)不等式$|x+1|-3 |x-1| \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\sin x}{x}$のグラフの$x=\pi$における接線の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(2 \cos {30}^\circ,\ 2 \sin {30}^\circ)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$は$\angle \mathrm{OBA}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}={15}^\circ$を満たす．このとき$a$の値を求めよ．ただし，$a<\sqrt{3}$とする．
(3)不等式$|x+1|-3 |x-1| \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第1問次の設問に答えよ．
(1)$|3-x|<9$を解きなさい．
(2)周の長さが$20 \, \mathrm{cm}$の長方形の面積が$16 \, \mathrm{cm}^2$より小さくなるときの$1$辺の長さの範囲を求めよ．
(3)フルマラソン（$42.195 \, \mathrm{km}$）を$4$時間$10$分で完走した場合，分速は何$\mathrm{m}$か求めよ．
(4)$0$～$5$までの数字が書かれたカードを$3$枚引いて$3$桁の整数を作りたい．整数はいくつできるか求めよ．ただし，カードは$1$枚ずつ$3$回引いて，一度引いたらもとに戻さない．
(1)$|3-x|<9$を解きなさい．
(2)周の長さが$20 \, \mathrm{cm}$の長方形の面積が$16 \, \mathrm{cm}^2$より小さくなるときの$1$辺の長さの範囲を求めよ．
(3)フルマラソン（$42.195 \, \mathrm{km}$）を$4$時間$10$分で完走した場合，分速は何$\mathrm{m}$か求めよ．
(4)$0$～$5$までの数字が書かれたカードを$3$枚引いて$3$桁の整数を作りたい．整数はいくつできるか求めよ．ただし，カードは$1$枚ずつ$3$回引いて，一度引いたらもとに戻さない．
私立 昭和大学 2015年 第3問次の各問に答えよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．