$a$を，$a>1$を満たす定数とする．関数
\[ y=a^{3x}-3a^{2x+1}+3a^{x+2}+3a^{-x+2}-3a^{-2x+1}+a^{-3x} \]
を考える．$t=a^x+a^{-x}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$がとる値の範囲を求めよ．
(2)$a^{3x}+a^{-3x}$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$を$a$と$t$を用いて表せ．
(4)$y$の最小値を$a$を用いて求めよ．

$f(x)=4x^3-3x+c$とする．

(1)$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$c=\sin 3\theta (-{30}^\circ<\theta<{30}^\circ)$とする．このとき$f(x)=0$の$3$つの解を$a \cos \theta+b \sin \theta$の形で表せ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}-1} \]
で定める．

(1)$y=\log (e^x+e^{-x}-1)$を微分せよ．
(2)$f(x) \geqq e^x-1$となるような$x$の値の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=e^x-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

半円$C_1:x^2+y^2=16 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=x^2+a$について，次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が相異なる$2$つの共有点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をもち，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{O}={60}^\circ$であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標および$a$の値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．
(3)$(2)$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線
\[ C_1:y=x(x-3)^2,\quad C_2:y=m^2x \quad (m \text{は正の実数}) \]
は異なる$3$点で交わるものとする．原点以外の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (0<\alpha<\beta)$とする．

(1)$C_1$は，$x=[ア]$で極大値$[イ]$，$x=[ウ]$で極小値$[エ]$をとる．
(2)$m$の値の範囲は$[オ]<m<[カ]$であり
\[ \alpha=[キ]-m,\quad \beta=[ク]+m \]
である．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの領域の面積が等しくなるのは，$m=[ケ]$のときである．このとき，$2$つの領域の面積の和は$[コ]$となる．

$x$についての方程式
\[ \log_2 x=\log_4 (8x-a-6) \]
が異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

$xy$平面上の直線$y=ax$を$L$とし，曲線$y=xe^x$を$C$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$x<0$の範囲で$L$と$C$が交わるとき，$L$と$C$で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

$2$次関数$y=x^2-mx+m^2-3m$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$m$は定数である．

(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$x$軸と$C$との共有点が$1$点$\mathrm{P}$だけであるとき，$m$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$x$軸の$x \geqq 1$の部分と$C$とが，異なる$2$点で交わるような$m$の値の範囲を求めよ．

平面上に点$\mathrm{A}(1,\ -1)$，$\mathrm{B}(7,\ 7)$があり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が満たす関係式を求めよ．
(2)$3x+4y$のとりうる値の範囲を求めよ．

次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．

(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．

(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．

(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．