以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．

実数$x$に対し
\[ a_n(x)=\left( \frac{-x^2+8x-19}{x^2-6x+5} \right)^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．ただし$x$は$1$でも$5$でもないとする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n(x)$が収束する$x$の範囲と，そのときの極限値を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_2^3 a_1(x) \, dx$を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．$xy$平面上で，曲線$y=e^{2x}$の，点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし，点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする．$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする．

(1)$\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

関数
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

放物線$y=x^2+ax+b$により，$xy$平面を$2$つの領域に分割する．以下の問いに答えよ．

(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．

座標平面上の相異なる$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$2$つの条件
\[ \left\{ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{QR}}| \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \cdots\cdots (*) \]
を満たしながら動くものとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$を$a$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$を$a$で表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{2}{3} \pi$のときの$a$を求めよ．また，$\angle \mathrm{PQR}=\pi$のときの$a$を求めよ．
(3)$a$がとり得る値の範囲を求めよ．
(4)原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{R}$を$(1,\ 0)$に固定する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$(*)$および
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \]
を満たしながら動くとする．点$\mathrm{P}$が描く軌跡を求めよ．
(5)$(4)$において，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の長さを求めよ．