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国立 大分大学 2015年 第3問$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．
(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．
(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．
国立 徳島大学 2015年 第4問$a>0$とし，$\displaystyle I=\int_0^1 |a \sqrt{x|-x} \, dx$とする．
(1)$a \sqrt{x}-x=0$を満たす$x$を求めよ．
(2)$I$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$の最小値を求めよ．
(1)$a \sqrt{x}-x=0$を満たす$x$を求めよ．
(2)$I$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$の最小値を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第3問$a>0$とし，$\displaystyle I=\int_0^1 |a \sqrt{x|-x} \, dx$とする．
(1)$a \sqrt{x}-x=0$を満たす$x$を求めよ．
(2)$I$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$の最小値を求めよ．
(1)$a \sqrt{x}-x=0$を満たす$x$を求めよ．
(2)$I$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$の最小値を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第2問$a>0$とし，$\displaystyle I=\int_0^1 |ax-x \log (x+1)| \, dx$とする．
(1)不定積分$\displaystyle \int \{ax-x \log (x+1)\} \, dx$を求めよ．
(2)$ax-x \log (x+1)=0$を満たす$x$を求めよ．
(3)$I$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \{ax-x \log (x+1)\} \, dx$を求めよ．
(2)$ax-x \log (x+1)=0$を満たす$x$を求めよ．
(3)$I$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$を最小にする$a$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$r>0$を定数とする．点$(x,\ y)$が楕円$4x^2+y^2=r^2$上を動くとき，$6x+4y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$x,\ y$がすべての実数値をとるとき，$\displaystyle \frac{6x+4y+5}{4x^2+y^2+15}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京農工大学 2015年 第4問$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．
(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．
国立 東京海洋大学 2015年 第1問$a \geqq 0$とするとき，$3$次関数$f(x)=x^3-3ax+a$について，次の問に答えよ．
(1)$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において$f(x) \geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において$f(x) \geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．