$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．

平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$[　]$をうめよ．

$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．

$a$は$0 \leqq a \leqq 1$を満たす実数とする．関数$y=|x-a|$のグラフと円周$x^2+y^2=1$の$2$交点の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{M}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くときの$\mathrm{M}$の軌跡を図示せよ．

$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1} |t^2-1| \, dt$の値が最小となるような$x$を求めよ．

$k$は実数の定数とする．実数$x,\ y$に対して，次の条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．\\
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)曲線$y=x^2+2x$と$x$軸とで囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=4$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　]}{[　]}$，$\displaystyle \tan \theta=\frac{[　]}{[　]}$である．

(3)次の計算をせよ．


(i) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{[　]}-[　]$

(ii) $\displaystyle \frac{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{[　]}-[　]}{[　]}$

(iii) $\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=[　]-\sqrt{[　]}+\sqrt{[　]}$


(4)$x \neq 0$とするとき，$\displaystyle k=x+\frac{1}{x}$のとり得る値の範囲は，$k \leqq [　]$，または$k \geqq [　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]

(i) $x$の取りうる値の範囲は$[　]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[　]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[　]$である．

(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．

(i) $a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[　]$である．

関数$f(x) = \sin 2x+3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)$a$を定数として，$g(x) = f(x)-ax$と定義するとき，$g(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

$4$次式$f(x)=x^4-3x^2+mx+n$（$m,\ n$は実数）について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x^2+x+1$で割ったとき，余りが$x+1$であった．このとき，$m$と$n$の値を求めよ．
(2)$f(x)=0$の一つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$m$と$n$を定め，残りの解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$m=0$のとき，$f(x)=0$の解がすべて実数であるような$n$の範囲を求めよ．