$k$は実数の定数とする．実数$x,\ y$に対して，次の条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．\\
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．

$xy$平面上の点$(x_1,\ y_1)$に対して，点$(x_2,\ y_2)$，$(x_3,\ y_3)$，$\cdots$を次の式で順に定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=\left\{ \begin{array}{ll}
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n \geqq 0 \text{のとき}) \\
\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n<0 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
以下の問に答えよ．

(1)$(x_1,\ y_1) = (-1,\ 2)$のとき，$(x_3,\ y_3)$を求めよ．
(2)$(x_1,\ y_1) = (1,\ 0)$のとき，$(x_5,\ y_5)$を求めよ．
(3)$x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,\ y_4) = (x_1,\ y_1)$となることを示せ．
(4)$(x_n,\ y_n)=(x_1,\ y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,\ y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

次の問いに答えよ．

(1)平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{BC}$の垂直二等分線は$[ア]x+y+[イ]=0$となる．また，平面上で$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PO}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PA}$，$\mathrm{PC} \leqq \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$の存在する範囲は$3$点$(0,\ 1)$，$(2,\ [ウ])$，$([エ],\ [オ])$を頂点とする三角形の内部および周であり，この三角形の面積は$[カ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，点$\mathrm{O}$を定点として，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は次の条件を満たしながら動く．

$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$
$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=8$

さらに，点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$の最大値は$\sqrt{[キ]}$である．

座標平面上に$(3,\ 2)$を中心とし，半径$1$の円$\mathrm{O}_1$がある．円$\mathrm{O}_1$に外接し，かつ$x$軸に接する円$\mathrm{O}$の円周上のすべての点が$x \geqq 0$，$y \geqq 0$を満たす領域にあるとする．また，円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$q$を$p$で表せ．
(2)$x$軸，$y$軸に接し，円$\mathrm{O}_1$に外接する円の半径を求めよ．
(3)$p$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$q$のとりうる値の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$は$2$点$(1,\ 0)$，$(2,\ -3)$を通る．$a$と$b$の値を求め，$C$の頂点の座標，及び$C$と$x$軸との共有点の座標を求めよ．
(2)不等式$2 \cos^2 \theta+3 \cos \theta-2 \leqq 0$をみたす$\theta$の値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値，三角形$\mathrm{ABC}$の面積，外接円の半径をそれぞれ求めよ．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=2x^3+ax^2-4ax+\frac{7}{3}a$が極大値と極小値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{a}$，$\mathrm{CA}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\cos \theta$を$a$の式で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるような$a$の値を求めよ．また，このときの外接円の半径$R$と内接円の半径$r$をそれぞれ求めよ．
(3)上の$(2)$が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の弧$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{D}$によってできる四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．ただし，弧$\mathrm{CA}$上には点$\mathrm{B}$がないものとする．

次の$x$に関する$2$つの$2$次方程式をそれぞれ$①$，$②$とおく．
\[ \begin{array}{ll}
x^2+ax+4=0 & \cdots\cdots① \\
x^2+2ax+4a+5=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
ただし，$a$は実数とする．

(1)$2$次方程式$①$が実数解を持つような$a$の値の範囲と，$2$次方程式$②$が実数解を持つような$a$の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(2)$2$次方程式$①$と$②$が共に実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．また，$2$次方程式$①$と$②$のいずれか一方だけが実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$2$次方程式$①$が異なる実数解$\alpha_1,\ \alpha_2 (\alpha_1>\alpha_2)$を持ち，かつ$2$次方程式$②$が異なる実数解$\beta_1,\ \beta_2 (\beta_1>\beta_2)$を持つとする．$4<\alpha_1<5$かつ$11<\beta_1<12$となるような$a$の値の範囲を求めよ．