$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

平面上に大きさが1のベクトル$\overrightarrow{a}$と大きさが2のベクトル$\overrightarrow{b}$があり，そのなす角が$60^\circ$である．いま，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \ (k \neq -1)$となる$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{Q}$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{C}$を通る直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=l \overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす$l$を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上にあるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

$y=2(\sin^3x-\cos^3x)-6 \sin x \cos x(\sin x-\cos x-1) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x-\cos x$とおくとき，$t$の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$で表せ．
(3)$y$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=\log (x+1)+\sin ax$と定義する．ただし，$x \geqq 0$であり，$a$は正の定数である．

(1)$f(e-1)=0$を満たす最も小さい$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を使って，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2(e-1)}{3}}f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2\pi}{e-1}$とするとき，方程式$f(x)=0$は$\displaystyle 0<x<\frac{3(e-1)}{4}$の範囲に解を持つことを証明せよ．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=|f(x)|$と直線$y=kx+6$とが異なる$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$となるための条件を$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$と内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$かつ$|\overrightarrow{a}|=1$のとき，$|\overrightarrow{b}|$のとりうる値の範囲を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

表の出る確率が$p \ (0<p<1)$，裏の出る確率が$1-p$の硬貨が1枚ある．$n$を自然数とする．この硬貨を$2n$回投げたとき，表が$n+1$回以上出る確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

関数$f(x)$は次の等式を満たす．
\[ f(x) = \int_{-1}^1 xf(t)\, dt + 1 \]
次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと，点P$(0,\ p)$を中心とする半径$1$の円が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$p$が取り得る値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(4)(2)において，$\angle \mathrm{APB} = \displaystyle\frac{2\pi}{3}$となるような$p$の値を求めよ．