「範囲」について
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(135ページ目:全1424問中1341問~1350問を表示)![防衛大学校](./img/univ/bouei.png)
関数$f(x)=3 \sin x+4 \cos x$について,次の問に答えよ.ただし,$0 \leqq x \leqq \pi$とする.
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき,$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ.ただし,$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする.
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ.
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し,$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ.
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき,$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ.ただし,$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする.
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ.
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し,$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ.
![防衛大学校](./img/univ/bouei.png)
関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について,次の問に答えよ.
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき,$a$の値を求めよ.
(3)(2)で求めた$a$の値に対し,$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする.このとき,$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ.
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき,$a$の値を求めよ.
(3)(2)で求めた$a$の値に対し,$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする.このとき,$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ.
![東京農工大学](./img/univ/tokyonoukou.png)
$a,\ b$を実数とする.行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ.
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ.
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ.
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする.$a_n$を求めよ.
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく.数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め,そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ.
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ.
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ.
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする.$a_n$を求めよ.
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく.数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め,そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ.
![愛知教育大学](./img/univ/aichikyouiku.png)
直線$\displaystyle y=\frac{5-x}{4}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{5-p}{4} \right) \ (p>1)$から曲線$C:y=1-x^2$へ2本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引くことができる.
(1)$\ell_1$と$C$との接点を$\mathrm{A}$,$\ell_2$と$C$との接点を$\mathrm{B}$とし,それぞれの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする.$\beta-\alpha$を$p$の式で表せ.
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とする.$\tan \theta$を$p$の式で表せ.ただし$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3)点$\mathrm{P}$が$p>1$の範囲を動くとき,$\theta$が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(1)$\ell_1$と$C$との接点を$\mathrm{A}$,$\ell_2$と$C$との接点を$\mathrm{B}$とし,それぞれの$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする.$\beta-\alpha$を$p$の式で表せ.
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とする.$\tan \theta$を$p$の式で表せ.ただし$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.
(3)点$\mathrm{P}$が$p>1$の範囲を動くとき,$\theta$が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
![山梨大学](./img/univ/yamanashi.png)
関数$f(x)=(x^2+2x+a)e^{x+2}$が極大値と極小値をともに持つとし,次の問いに答えよ.
(1)$a$の値の範囲を求めよ.
(2)極大値を$M$,極小値を$m$とするとき,$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ.
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき,関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)$a$の値の範囲を求めよ.
(2)極大値を$M$,極小値を$m$とするとき,$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ.
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき,関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
$a$を0以上の実数とし,$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について,次の各問いに答えよ.
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ.
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について,次の各問いに答えよ.
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき,関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
次の各問いに答えよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
(1)直線$\ell:y=ax+b$が原点を中心とする半径1の円と点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$で接しているとする.また,直線$\ell$は放物線$C:y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
\mon[(a)] 定数$a,\ b$の値を求めよ.
\mon[(b)] 放物線$C$と直線$\ell$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ.
\mon[(c)] 放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,
\[ 5 \sin^2 \theta+14 \cos \theta-13 \geqq 0 \]
を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき,$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ.
![帯広畜産大学](./img/univ/obihiro.png)
自然数$n$に対して,$\{a_n\}$は初項$a$,一般項$a_n$の数列であり,$\{b_n\}$ \\
は初項$b$,一般項$b_n$の数列である.座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$, \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる.また,点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は,それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され,各点の位置関係は右図のようになる.ここで,$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し,また,$d>0$,任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する.
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ,それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい.
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について,それぞれの一般項と,初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい.
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき,$c$の値の範囲を求めなさい.
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき,$c$の値を求めなさい.
(5)$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて,$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$,$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する.$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき,$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい.
は初項$b$,一般項$b_n$の数列である.座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$, \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる.また,点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は,それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され,各点の位置関係は右図のようになる.ここで,$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し,また,$d>0$,任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する.
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ,それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい.
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について,それぞれの一般項と,初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい.
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき,$c$の値の範囲を求めなさい.
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき,$c$の値を求めなさい.
(5)$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて,$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$,$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する.$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき,$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい.
![長岡技術科学大学](./img/univ/nagaoka.png)
曲線$C:y=e^{-\frac{1}{2}x^2}$について以下の問いに答えなさい.
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい.
(2)(1)の接線と$x$軸,$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする.$t>0$の範囲で$t$が動くとき,$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい.
(1)曲線$C$上の点P$(t,\ e^{-\frac{1}{2}t^2})$における接線の方程式を求めなさい.
(2)(1)の接線と$x$軸,$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする.$t>0$の範囲で$t$が動くとき,$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)$y=|x^2-1|$のグラフを描け.
(2)$a,\ b$を実数とする.$x$についての方程式
\[ |x^2-1|-ax-b=0 \]
が異なる4つの実数解を持つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
(3)(2)の方程式の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$とするとき,$\delta-\gamma=\gamma-\beta=\beta-\alpha$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ.
(1)$y=|x^2-1|$のグラフを描け.
(2)$a,\ b$を実数とする.$x$についての方程式
\[ |x^2-1|-ax-b=0 \]
が異なる4つの実数解を持つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
(3)(2)の方程式の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$とするとき,$\delta-\gamma=\gamma-\beta=\beta-\alpha$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ.