$a>0$とする．曲線$y=\log x$と直線$y=x$および2直線$x=a,\ x=a+1$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)$x>0$のとき，$x > \log x$であることを示せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k \sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分とする．

(1)$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime}(x)=e^{k \sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$f(x)$が最大となるときの$f(x)^2$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．

$y=\sin 2x+\cos x$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

$\displaystyle y=\sin 2x-x+\frac{\pi}{2}$のグラフの$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分を$C$とする．また点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$におけるグラフの接線を$\ell$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で曲線$C$が$\ell$の上側になる部分はないことを示せ．
(3)曲線$C$，直線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．