正の実数$r$と$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲の実数$\theta$に対して
\[ a_0 = r \cos \theta,\quad b_0 = r \]
とおく．$a_n,\ b_n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を漸化式
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +b_{n-1}}{2},\quad b_n = \sqrt{a_nb_{n-1}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{a_1}{b_1},\ \frac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ．
(3)$\theta \neq 0$のとき
\[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin \theta}{\theta} \]
を示せ．

$f(x) = x^3 +3x^2 -9x$とする．$y < x < a$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x−y)f(a) + (a-x)f(y)}{a−y} \]
が成り立つような$a$の範囲を求めよ．

半径3の球$T_1$と半径1の球$T_2$が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球$S$が次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
\begin{eqnarray}
\text{(A)} \quad S \text{は} T_1 \text{の内部にあるか} T_1 \text{に内接している．} \nonumber \\
\text{(B)} \quad S \text{は} T_2 \text{の外部にあるか} T_2 \text{に外接している．} \nonumber
\end{eqnarray}
$S$の中心が存在しうる範囲を$D$とするとき，立体$D$の体積を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．