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公立 福岡女子大学 2011年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x} \sin x$について，次の問に答えなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{\sqrt{3}x} \sin x \, dx$を計算しなさい．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{\sqrt{3}x} \sin x \, dx$を計算しなさい．
公立 富山県立大学 2011年 第1問$a$と$b$は定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+b$，$g(x)=2 |x|$について，次の問いに答えよ．
(1)$b=0$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$4$個となるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$1$個のとき，$a$と$b$が満たす条件を求めよ．
(1)$b=0$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$4$個となるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$1$個のとき，$a$と$b$が満たす条件を求めよ．
公立 福岡女子大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
公立 京都府立大学 2011年 第4問座標平面上の楕円$C_1:4x^2+y^2=4$について，以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(1)$C_1$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$1$だけ平行移動した楕円を$C_2$とする．$1 \leqq k \leqq 2$を満たすすべての$k$に対して，直線$\ell:y=kx-3$と$C_2$が$2$個の共有点をもつとき，$p$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d,\ e$を定数とする．$C_1$を原点まわりに${75}^\circ$回転した$2$次曲線を
\[ C_3:x^2+axy+by^2+cx+dy+e=0 \]
とするとき，$a,\ b$の値を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第1問次の各問に答えよ．
(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第2問座標平面上の点P$(x,\ y)$が$4x+y \leqq 9,\ x+2y \geqq 4,\ 2x-3y \geqq -6$の範囲を動くとき，$2x+y,\ x^2+y^2$のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第1問$3$辺の長さが$a$と$b$と$c$の直方体を，長さが$b$の$1$辺を回転軸として$90^\circ$回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体を$V$とする．
(1)$V$の体積を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=1$のとき，$V$の体積のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)$V$の体積を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a+b+c=1$のとき，$V$の体積のとりうる値の範囲を求めよ．
国立 大阪大学 2010年 第2問$0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$とする．2つの曲線
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．
\[ C_1:x^2+3y^2=3, \quad C_2:\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} =2 \]
の交点のうち，$x$座標と$y$座標がともに正であるものをPとする．Pにおける$C_1,\ C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，$y$軸と$\ell_1,\ \ell_2$の交点をそれぞれQ，Rとする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，線分QRの長さの最小値を求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第1問$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x) = ax+ \cos x+ \frac{1}{2} \sin 2x$が極値をもたないように，$a$の値の範囲を定めよ．
国立 東北大学 2010年 第1問$f(x) = x^3$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq a < x < y$を満たすすべての$a,\ x,\ y$に対して
\[ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} < \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \]
が成り立つことを示せ．
(2)$y < x < b$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x-y)f(b) + (b-x)f(y)}{b-y} \]
が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
(1)$0 \leqq a < x < y$を満たすすべての$a,\ x,\ y$に対して
\[ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} < \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \]
が成り立つことを示せ．
(2)$y < x < b$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x-y)f(b) + (b-x)f(y)}{b-y} \]
が成り立つような$b$の範囲を求めよ．