底面が正方形で，4個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角錘を考える．底面の正方形の一辺の長さを$x$，側面の二等辺三角形の等しい辺の長さを$a$とする．この四角錘の体積を$V$として，次の各問に答えよ．

(1)$V$を$a$と$x$で表せ．
(2)$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$を$C$，直線$y=ax+3a+1$を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．

$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$\ell$とし，原点Oを通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．2次正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．$f$により，直線$\ell$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pの$f$による像をQとする．

\mon[(i)] 点Qは直線$\ell$上の点であることを示せ．
\mon[(ii)] 点Pが直線$\ell$上の点でないとき，直線PQと直線$\ell$は垂直であることを示せ．
\mon[(iii)] 3点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 2)$を頂点とする三角形の辺上を点Pが動くとき，点Qの動く範囲を求めよ．

曲線$y=x^3-2x^2-x+2$を$C$とする．$f(x)=x^3-2x^2-x+2$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ a)$から$C$に接線がちょうど$3$本引けた．このとき$a$がとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$C$と$1$本の直線が$2$点以上で接することはないことを，説明なく用いてよい．
(2)点$\mathrm{P}(0,\ a)$から曲線$C$に引いた接線上の接点を点$\mathrm{Q}(s,\ f(s))$とする．$a$が$(1)$で求めた範囲の値をとるとき，$s$がとり得る値の範囲を求めよ．

座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{ax} \int_0^x |\cos (x-t)| \, dt \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底とし，$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$を満たす$x$に対して，
\[ I(x)=\int_0^x |\cos (x-t)| \, dt \]
を求めよ．
(2)関数$f(x)$が区間$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$において極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$が2つの区間$\displaystyle 0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$と$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$のどちらの区間においても極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．

$2$次関数$f(x)=x^2-2x+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最大値を$t$の関数の形で求めよ．
(2)$(1)$で求めた$t$の関数を$p(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ p(t))$の軌跡を描け．
(3)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最小値を$t$の関数の形で求めよ．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数を$q(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ q(t))$の軌跡を描け．

$\displaystyle f(x)=x^3-3ax^2-3bx+c,\ H(x)=\int f(x) \, dx$とおく．また，方程式$f^\prime(x)=0$は異なる解を持ち，$x=-1$はその$1$つの解とする．次の問に答えなさい．

(1)$f^\prime(x)=0$を満たすもう$1$つの解を$a$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle a \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．
(3)$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$のとき，$H(x)$の値が$x>0$でつねに増加するための$c$の値の範囲を求めなさい．