$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}$，大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x \leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(3)放物線$y=x^2$上の点$(p,\ p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,\ 2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．

$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+3tx^2+(4t^2-3t)x$について，次の問に答えよ．ただし$t$は定数である．

(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$(1)$の範囲にあるとき，$S$の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

実数$a$について，次の定積分を考える．
\[ I(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx \]

(1)不定積分$\int x \sin x \, dx$を求めよ．
(2)$I(a)$を求めよ．
(3)$a$が$a \geqq 0$の範囲を動くとき，$I(a)$の最小値を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a \neq 0)$が点$(0,\ 1)$を通り，かつ，その頂点の座標が$(\cos \theta,\ -\cos 2\theta)$であるとき，次の問に答えよ．ただし，定数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある．

(1)$a$および$c$の値を求めよ．
(2)$b$を$\theta$を用いて表せ．
(3)関数$y=ax^2+bx+c (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値が$5$となるような$\theta$の値をすべて求めよ．

実数$t$は$t>1$を満たすとする．点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ t \right)$から，円$x^2+y^2=1$に相異なる$2$本の接線を引き，$2$つの接点を通る直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)$t$を$t>1$の範囲で動かすとき，$t$によらず$\ell$が通る点がある．この点の座標を求めよ．

不等式
\[ \log_2 (1-x)+\log_4 (x+2)<1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．

$k$を実数とし，曲線$C_1:y=1-x^2$と曲線$C_2:y=x^2-2kx+k^2$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$k$のとり得る値の範囲を求めなさい．
(2)$k$の値が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を図示しなさい．
(3)$(2)$の軌跡と$C_1$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x)=\sin x+a\cos^2 x -\frac{1}{4}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$a=1$とするとき，$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の増減と極値を調べて，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)$f(x)$の極値をあたえる$x$が$0 < x<\pi$の範囲に$1$個だけ存在するための$a$についての必要十分条件を求めなさい．

$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2=x+y$を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，$x^2+y^2=x+y$の表す図形を答えよ．
(2)$x+y$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$y-x^2+x$のとりうる値の範囲を求めよ．