以下の$[か]$から$[こ]$にあてはまるものを答えよ．

$a,\ b$を定数とするとき，$3$次の整式$f(x)=x^3+ax^2+bx-4$は，$x-2$で割ると$-2$余り，$2x-1$で割ると$\displaystyle -\frac{7}{8}$余るという．

(1)$a=[か]$，$b=[き]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めると，$[く]$である．
(3)方程式$f(x)=c$が異なる$3$つの実数解を持つような実数$c$の値の範囲は，$[け]$である．
(4)関数$f(x)$の区間$d \leqq x \leqq d+3$における最大値が$0$であるような実数$d$の値の範囲は，$[こ]$である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

座標平面において，動点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t^{\frac{1}{4}} (1-t)^{\frac{3}{4}},\quad y=t^{\frac{3}{4}} (1-t)^{\frac{1}{4}} \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．

(1)動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のときであり，$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときである．
(2)$0<t<1$のとき，動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ヒ]}{[フ]}$のとき，$t=1$のときの$3$回である．
(4)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする．$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x>1$とする．
\[ \sqrt{\log_2 x}>\log_2 \sqrt{x} \]
を満たす$x$の値の範囲は$[ア]<x<[イ]$である．
(2)$x$の関数
\[ y=\sqrt{2} (\sin x-\cos x)-\sin x \cos x+1 \quad \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を考える．

(i) $t=\sin x-\cos x$とおくと，
\[ y=\frac{[ウ]}{[エ]}t^2+\sqrt{[オ]}t+\frac{[カ]}{[キ]} \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$で$y$は最大値$[コ]+\sqrt{[サ]}$をとり，$\displaystyle x=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$で$y$は最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．

$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3ax^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)$-1 \leqq p \leqq 0$かつ$1 \leqq q \leqq 2$となるような点$(a,\ b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)$(a,\ b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

不等式
\[ \log_7x-3 \log_x (7x) \leqq -1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

$a$を正の定数とする．座標平面上に曲線$C_1:y=ax^2$と曲線$C_2:x=y^2$がある．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．
(2)曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$V_1$と$V_2$について，$V_1 \geqq V_2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．また，$V_1-V_2$を最大にする$a$の値を求めよ．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2=2$を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)$t=x+y$とおくとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$S=x^2+6xy+y^2$とおくとき，$S$の最大値，最小値およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．

$\displaystyle m>0,\ m \neq \frac{1}{2}$とする．不等式
\[ 2m \left( \frac{9}{4} \right)^{x^2-3x+2}-3 \left( \frac{3}{2} \right)^{x^2-3x+1}+2-2m<0 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$m=1$のとき，この不等式を解け．
(2)この不等式のすべての解$x$が不等式$1<x<2$を満たすような$m$の範囲を求めよ．

$m$を定数とする．曲線$y=x^3-3x$と直線$y=m$が異なる$3$個の共有点をもち，それらの$x$座標を$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$の範囲を求めよ．
(2)$S={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2$の値を求めよ．
（注意） なお，$3$次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数，$a \neq 0$）の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき，
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
であることを用いてもよい．