$a$は実数とする．多項式$f(x),\ g(x)$が
\[ f(x)=ax^2+x+\int_0^1 g(t) \, dt,\quad g(x)=-x^2+2x+\int_{-1}^1 f(t) \, dt \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 g(t) \, dt,\ \int_{-1}^1 f(t) \, dt$の値を$a$を用いて表せ．
(2)方程式$f(x)=g(x)$が実数解をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle g \left( \frac{2}{3} \right)=0$のとき，$2$つの関数$y=f(x)$，$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．

次のア～へに当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に入れよ．

(1)$0 \leqq x,\ y$かつ$3x+2y=4$を満たす$(x,\ y)$に対して，$\displaystyle x^3+\frac{8}{3}y^3$は，$(x,\ y)=([ア],\ [イ])$のとき，最大値$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$となり，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [カ],\ \frac{[キ]}{[ク]} \right)$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．

(2)$0 \leqq y \leqq 4x-2x^2$を満たす$(x,\ y)$にたいして，$z=4x^2+2xy-8x$の最大値と最小値を考える．条件から考える$x$の範囲は，$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．この範囲の$x$を$1$つ固定して，$z$の値を考えると，$z$は，$y$についての$1$次式だから，固定された$x$にたいして，$z$は$y=[ス]x-[セ]x^2$のとき，最も大きく$z=-[ソ]x^3+[タチ]x^2-[ツ]x$となる．従って，考える範囲の$(x,\ y)$にたいしては，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [テ]+\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)$のとき，$z$は最大値$\displaystyle \frac{[ネ] \sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$となる．同様のやり方で最小値をもとめると，$(x,\ y)=([ヒ],\ [フ])$のとき，$z$は最小値$-[ヘ]$となる．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}={105}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={30}^\circ$，$\mathrm{BC}=6$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[1]$であり，辺$\mathrm{AC}$の長さは$[2]$である．
(2)次の不等式をみたす$x$の値の範囲は，$[3]<x<[4]$である．
\[ \log_2(3x-1)+\log_2(4x+5)<\log_4(7x-1)^2 \]
(3)$3$次方程式$x^3+(2a-1)x^2+(5a+8)x-7a-8=0$は解$x=1$をもつという．この方程式が$3$重解をもつのは，$a=[5]$のときであり，ちょうど$2$つの異なる実数解をもつのは$a=[6]$のときである．
(4)$y=|x^2-4|$のグラフと直線$y=x+k$の共有点の個数が$3$個であるとき，$k$の値は$[7]$または$[8]$である．
(5)$2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$の数が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードが箱の中に入っており，箱から同時にカードを$3$枚取り出すという試行を行う．取り出したカードに書いてある数の合計を得点とするとき，得点が$8$点の確率は$[9]$である．また，$1$回の試行における得点の期待値は$[10]$である．

$-\pi \leqq x \leqq \pi$の範囲で関数
\[ f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x-1 \]
を考える．

(1)$f(x)=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

$2$次関数$y=x^2-2(a-1)x \cdots\cdots①$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$①$の表す放物線の頂点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$①$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を，$a$の値の範囲によって，場合に分けて求めよ．
(3)$(2)$の最小値$m$を$a$の関数と考えたとき，その最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle y=2 \sin 2\theta+3 \sin^2 \theta+1+2 \cos^2 \frac{\theta}{2}+2 \sin \theta (0 \leqq \theta<2\pi)$について，次の問に答えよ．なお，$t=2 \sin \theta+\cos \theta$とする．

(1)$y$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$y$の最小値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-2a+3$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

以下の$[あ]$から$[お]$にあてはまるものを答えよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(2,\ 4)$をとり，$\theta=\angle \mathrm{ABC}$とおく．ただし，$-1<b<2$とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$の傾きと直線$\mathrm{BC}$の傾きを$b$を用いて表すと，それぞれ$[あ]$，$[い]$である．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$となるのは，$b=[う]$のときである．
(3)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$b$で表すと，$[え]$である．
(4)$b$が$-1<b<2$の範囲を動くとき，$\theta$の値が最小となるのは，$b=[お]$のときである．