関数$f(x)=x^2-x-2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる2つの共有点をもつような$m$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=mx$と$y=f(x)$とが異なる3つの共有点をもつとき，これらにより囲まれる2つの部分の面積の和$S$を$m$で表せ．
(4)$S$の最小値とそのときの$m$の値を求めよ．

関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)$t$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$を解け．

$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$上に2点$\mathrm{P}(0,\ -b)$，$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$をとる．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$である．$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線と$C$との交点のうち$\mathrm{P}$と異なるものを$\mathrm{R}$とおく．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)$C$の焦点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{F}$とする．(2)で求めた$\mathrm{Q}$の$x$座標と$\mathrm{F}$の$x$座標の大小を比較せよ．

楕円$C:x^2+4y^2=4$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

$xyz$空間内の3点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{R}(t,\ t^2-t+1,\ 0)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)$K$の体積を求めよ．

楕円$C:x^2+4y^2=1$と点$\mathrm{P}(2,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=x+b$が楕円$C$と異なる2つの交点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最大となるような$b$の値を求めよ．

$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{CA}=5$である直角三角形$\mathrm{ABC}$と，その内側にあって$2$辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$に接する円$\mathrm{O}$を考える．この円の半径を$r$とし，中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に引いた垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と同じ向きで大きさが$1$のベクトルを，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{u} \ (t>0)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求め，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HO}}$を，それぞれ$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$および$t$を用いて表せ．また，円$\mathrm{O}$の半径$r$を$t$で表せ．
(3)円$\mathrm{O}$が辺$\mathrm{BC}$にも接するとき，その中心を$\mathrm{I}$とする．すなわち，$\mathrm{I}$は三角形$\mathrm{ABC}$の内心である．そのときの$t$の値と，内接円$\mathrm{I}$の半径を求めよ．
(4)円$\mathrm{O}$と内接円$\mathrm{I}$が共有点をもたないような$t$の範囲を求めよ．

実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．