方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．

(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．

\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．

(2)$t>0$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2t)^2-b \log_2t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．

$k$を正の実数とする．点$(3k,\ 4k)$を中心とする半径$5k+1$の円を$C_k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)円$C_k$が原点を通るかどうかを答えなさい．
(2)$k$がすべての正の実数値をとって変化するとき，円$C_k$の動く範囲を求め，座標平面上に図示しなさい．

2つの関数
\[ f(x)=\sin 3x+\sin x+\cos x,\quad g(x)=\cos 3x \]
について，次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq n\pi$における2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$の交点の個数を$r$とする．$r$を$n$の式で表せ．ただし，$n$は正の整数とする．
(2)区間$0 \leqq x \leqq \pi$において$f(x)<g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．
(3)定積分
\[ I=\int_0^\pi |f(x)-g(x)| \, dx \]
の値を求めよ．

曲線$C$は極方程式$r=2 \cos \theta$で定義されているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表し，さらに図示せよ．
(2)点$(-1,\ 0)$を通る傾き$k$の直線を考える．この直線が曲線$C$と$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)(2)のもとで，$2$交点の中点の軌跡を求めよ．

平行四辺形OABCにおいて，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$，かつ$\angle \text{AOC}=120^\circ$であるとする．また，$s,\ t$を実数とし，2点P，Qをそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と定める．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が0のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(3)(2)の条件のもとで，さらに点Qが線分OB上にあるような$s$の値の範囲を求めよ．

実数$a$に対して$2$次方程式
\[ x^2-5x+6-a=0 \]
を考える．また，この$2$次方程式が整数解を持つような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)この2次方程式が実数解を持つような$a$の範囲を求めなさい．
(2)$a_1$と$a_2$を求めなさい．
(3)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とおく．$S_n$を$n$の式で表しなさい．

曲線$C:y=e^{2x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{2t})$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{Q}$が$x$軸の正の部分にあるような$t$の範囲を求めなさい．
(2)$t$が前問の範囲にあるとき，$C$および$3$直線$\ell,\ y=0,\ x=0$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．

関数$f(x)=4^x+4^{-x}-2^{2+x}-2^{2-x}+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=2^x+2^{-x}$とおいて，$f(x)$を$t$で表せ．
(2)$t$の値の範囲を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(4)方程式$f(x)=0$を解け．

方程式$x^2+y^2-2x+6y-6=0$で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)図形$C$を図示せよ．
(2)直線$2x+3y=k$が，図形$C$を2等分するような定数$k$の値を求めよ．
(3)図形$C$と直線$2x+3y=k$が異なる共有点を2個もつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(4)図形$C$に接し，傾きが$\displaystyle -\frac{2}{3}$である直線の方程式を求めよ．