「範囲」について
タグ「範囲」の検索結果
（112ページ目：全1424問中1111問～1120問を表示）
国立 九州工業大学 2011年 第1問$a,\ b$を正の実数とし，関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a \sin x \cos x,\ g(x)=x^2+b \cos^2 x -b$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第1問$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
国立 東京学芸大学 2011年 第2問座標平面上で円$C:x^2+(y-4)^2=16$上の異なる2点P，Qに対し，線分PQを$1:3$に内分する点をMとする．下の問いに答えよ．
(1)点Pを原点に固定して，点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ．
(2)2点P，Qが円$C$上を動くとき，点Mが動く範囲を図示せよ．
(1)点Pを原点に固定して，点Qを円$C$上で動かしたときの点Mの軌跡を求めよ．
(2)2点P，Qが円$C$上を動くとき，点Mが動く範囲を図示せよ．
国立 帯広畜産大学 2011年 第1問自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
国立 群馬大学 2011年 第2問平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．
(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2 \cos^2 \alpha-2\sqrt{2} \cos \alpha +1=0 \\
\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \alpha
\end{array}
\right. \]
(2)$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が$\log_2 b$と$\log_2 2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)次の連立不等式が表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y+2 \leqq 2x \leqq 6-y \\
2y \geqq -1
\end{array}
\right. \]
領域$D$と放物線$y=px^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2 \cos^2 \alpha-2\sqrt{2} \cos \alpha +1=0 \\
\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \alpha
\end{array}
\right. \]
(2)$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が$\log_2 b$と$\log_2 2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)次の連立不等式が表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y+2 \leqq 2x \leqq 6-y \\
2y \geqq -1
\end{array}
\right. \]
領域$D$と放物線$y=px^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第2問平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．
(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第4問関数
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 茨城大学 2011年 第4問関数$f(x)$は
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．
国立 茨城大学 2011年 第2問$a,\ b,\ c$は実数の定数で，$a>0, b \geqq 0$とする．実数$x,\ y$に関する条件$p,\ q,\ r$を次のように定める．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．
(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．