「範囲」について
タグ「範囲」の検索結果
（110ページ目：全1424問中1091問～1100問を表示）
国立 香川大学 2011年 第4問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(1)定数$a,\ b$を用いて，$\sin \theta+\cos \theta$を$a\sin (\theta+b)$の形に表せ．ただし，$a>0, 0 \leqq b < 2\pi$とする．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta + \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(4)$t=\sin \theta + \cos \theta$とおくとき，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を$t$を用いて表し，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．
(1)すべての実数$x$について$x^2+k>|x|$が成立するような，定数$k$の範囲を求めよ．
(2)放物線$C_1:y=x^2+k$を考える．ただし，定数$k$は(1)の範囲にあるとする．直線$y=x$に関して$C_1$と対称な曲線を$C_2$とする．$C_1$上に点P$_1$を，$C_2$上に点P$_2$をとる．点P$_1$の$x$座標を$s$，点P$_2$の$y$座標を$t$とする．また原点をO$(0,\ 0)$とする．
(3)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積を$A$とおく．$A$を$s$と$t$を用いて表せ．ただし，3点O$(0,\ 0)$，L$(a,\ b)$，M$(c,\ d)$が同一直線上にないとき，その3点を頂点とする$\triangle$OLMの面積が$\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることは使ってよい．
(4)$t$を固定する．$s$が実数全体を動くときの$A$の最小値を$B$とする．$B$を$t$を用いて表せ．
(5)$t$が実数全体を動くときの$B$の最小値を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第5問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第2問座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
国立 三重大学 2011年 第2問座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．
国立 三重大学 2011年 第4問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
国立 山口大学 2011年 第2問座標平面において，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を原点のまわりに$\theta$だけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線を$\ell$とし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線を$m$とする．また，直線$\ell$と直線$m$によりはさまれた領域を$S$とし，不等式$0 \leqq y \leqq x$の表す領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．
(1)直線$\ell,\ m$の方程式を求めなさい．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，領域$S$と領域$T$の共通部分の面積を最小にする$\theta$の値を求めなさい．
国立 名古屋工業大学 2011年 第1問$k$を正の定数とする．関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{(x+1)^2} \quad\,\, (x>0) \nonumber \\
& & g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2} \qquad\qquad (x>0) \nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．
(1)$g(x)$の増減を調べよ．
(2)$f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=a$で極値をとるとき，極値$f(a)$を$a$だけの式で表せ．
(4)$k$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{1}{8}$より小さいことを示せ．
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{(x+1)^2} \quad\,\, (x>0) \nonumber \\
& & g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2} \qquad\qquad (x>0) \nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．
(1)$g(x)$の増減を調べよ．
(2)$f(x)$が極値をもつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=a$で極値をとるとき，極値$f(a)$を$a$だけの式で表せ．
(4)$k$が(2)で求めた範囲にあるとき，$f(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{1}{8}$より小さいことを示せ．