第$1$象限において，方程式$x^2+y^2=1$で与えられる図形を$C$で表す．方程式$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$で与えられる直線を$\ell$で表す．ただし，$a$と$b$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．

双曲線$x^2-y^2=1$上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ s)$をとる．ただし，$t,\ s$は$t>1$，$s>0$の範囲を動くとする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(t,\ s)$と点$\mathrm{B}(-1,\ 0)$を通る直線と，点$\mathrm{Q}(t,\ -s)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を通る直線の交点を$\mathrm{R}(u,\ v)$とする．$u,\ v$を$t$で表せ．
(2)点$\mathrm{R}(u,\ v)$の軌跡を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする．次の問に答えなさい．

(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を，それぞれ求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい．

次の空欄$[サ]$から$[ニ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$が範囲$0 \leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$を考える．
$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，
\[ g(X)=[サ]X^2+[シ]X+[ス] \]
と書ける．
$x$は$0 \leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$[セ] \leqq X \leqq [ソ]$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=[タ]$のとき最小値$[チ]$をとり，$X=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとる．
したがって，$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$は$x=[ト]$のとき最小値$[チ]$をとり，$x=[ナ]$または$[ニ]$のとき最大値$[テ]$をとる．

実数$p,\ q$に対して，$x$の$3$次関数$f_{p,q}(x)$を$f_{p,q}(x)=x^3+px+q$によって定める．実数$p,\ q$は，$3$次関数$f_{p,q}(x)$が以下の$3$条件を満たすような範囲を動くとする．

条件$(ⅰ)$：$f_{p,q}(1)=1$
条件$(ⅱ)$：$f^\prime_{p,q}(0)<0$（ただし，$f^\prime_{p,q}(x)$は$f_{p,q}(x)$の導関数を表す．）
条件$(ⅲ)$：$x \geqq 0$のとき，$f_{p,q}(x) \geqq 0$

このとき，定積分
\[ I(p,\ q)=\int_0^1 f_{p,q}(x) \, dx \]
を最大にするような$p,\ q$の値，および$I(p,\ q)$の最大値を求めよ．

関数$f(x)$は$c$を定数とし，$\displaystyle f(x)=3x^2-\int_0^1 (2x-t)f^\prime(t) \, dt-c$を満たすものとする．また，$3$次関数$g(x)$は，$\displaystyle g(x)=\int_1^x g^\prime(t) \, dt$，$g(0)=-1$，$g^\prime(1)+g^\prime(0)=3$，$g^\prime(1)-g^\prime(0)=5$を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を定数$c$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)$を求めよ．
(3)$x \geqq -1$のとき，常に$g(x) \geqq f(x)$を満たす定数$c$の値の範囲を求めよ．

$a$を実数とする．$xy$平面上に，曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，曲線$\displaystyle C_2:y=\frac{x^2}{2}+a$，次の連立不等式の表す領域$D$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2 \leqq 1 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{2}-1
\end{array} \right. \]
以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(3)$D$の面積を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$1$次不等式$8 |x-1|<3x+4$を満たす$x$の範囲は，$[ア]<x<[イ]$である．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した後に，$x$軸に関して対称移動したところ，$y=-3x^2+18x-25$となった．このとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(3)$2$次不等式$x^2+2(a+2)x+2a^2+a-6>0$が任意の実数$x$に対して成り立つような定数$a$の値の範囲は，$a<[オ]$，$[カ]<a$である．
(4)$8 \cos^2 \theta-2 \sin \theta-5=0 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を満たす$\theta$は，$[キ]$と$[ク]$である．
(5)$9$冊の異なる本を$4$冊，$3$冊，$2$冊の$3$組に分ける方法は$[ケ]$通りある．また，$3$冊ずつ$3$組に分ける方法は$[コ]$通りある．

$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 4,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 4)$を通る平面$\alpha$が共有点を持つことを示し，点$(x,\ y,\ z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．