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私立 安田女子大学 2012年 第2問放物線$C_1:y=x^2+2ax+b$は直線$L:y=3x$と接し，放物線$C_2:y=x^2-ax+b$は$x$軸と共有点をもつ．このとき，次の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$と直線$L$が接することを用いて，$b$を$a$の式で表せ．
(2)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲の値をとるとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(1)放物線$C_1$と直線$L$が接することを用いて，$b$を$a$の式で表せ．
(2)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた範囲の値をとるとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．
(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$を計算せよ．
(2)$x^3-x^2-4x+4$を因数分解せよ．
(3)$0^\circ<\theta<{60}^\circ$のとき，$\cos ({180}^\circ-\theta)$の値の範囲を求めよ．
(4)$\mathrm{BC}=3$，$\angle B={135}^\circ$である$\mathrm{ABC}$において，外接円の半径が$3$のとき，$\angle A$の大きさを求めよ．
私立 愛知学院大学 2012年 第1問次の空欄を埋めなさい．
(1)不等式$|x^2-4x-5|<x+1$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)不等式$-2<\log_{0.1}x<2$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(3)$4$次方程式$x^4+3x^2+4=0$の解は$[ウ]$である．
(1)不等式$|x^2-4x-5|<x+1$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)不等式$-2<\log_{0.1}x<2$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(3)$4$次方程式$x^4+3x^2+4=0$の解は$[ウ]$である．
公立 青森公立大学 2012年 第1問次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．
公立 大阪市立大学 2012年 第3問$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で二つの曲線$y=\sin x$と$y= k \cos x$を考える．ただし，$k>0$とする．この二つの曲
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．
公立 首都大学東京 2012年 第1問$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x \log x$（$x>0,\ \log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t \to \infty$のとき，$\displaystyle \frac{S(t)}{t^p \log t}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t^p \log t}$を求めなさい．
公立 県立広島大学 2012年 第1問$k$を定数とする．関数$f(\theta)=\cos 2\theta+4k \sin \theta+3k-3$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \pi \right),\ f \left( \frac{3}{2} \pi \right)$を求めよ．
(2)$x= \sin \theta$として，$f(\theta)$を$x$で表せ．
(3)$-1 \leqq k \leqq 1$のとき，$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(4)すべての$\theta$に対して常に$f(\theta) \leqq 0$となる$k$の値の範囲を求めよ．
公立 大阪府立大学 2012年 第4問実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．
(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．
(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．
公立 広島市立大学 2012年 第3問空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．
公立 大阪府立大学 2012年 第4問$a$を正の定数とする．実数の変数$x$の関数$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$について，以下の問いに答えよ．
(1)一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．
(1)一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．