次の各問に答えよ．

(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．

曲線$y=xe^x$を$C_1$，曲線$y=ex^2$を$C_2$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)不等式$xe^x>ex^2$が成り立つ$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．

(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．

(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．

(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．

以下の各問に答えよ．

(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．

$2$次関数$y=-2x^2+4kx-k^2+k-2$のグラフが次のようになるとき，実数$k$の値または値の範囲を求めよ．

(1)頂点の$x$座標が$4$である．
(2)$x$軸と接する．
(3)頂点の$y$座標が$10$より小さい．

以下の各問に答えよ．

(1)$|x-1| \leqq 2x+1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$2$次関数$y=2x^2-8x+4 (1 \leqq x \leqq 4)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$3,\ 5,\ 7$の三角形の面積を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{5}{7}$を小数で表したとき，小数第$1000$位の数字を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[　]b+[　]}{a+[　]b-[　]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[　] \leqq y \leqq [　]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[　]x+[　]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲の$\theta$について，$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$k$は実数の定数とする．$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta=k$かつ$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$が，ちょうど$3$個存在するような，$k$の値の範囲を求めよ．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2-4y+2=0$を満たすとする．$\displaystyle k=\frac{x}{y}$，$\displaystyle z=\frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$z$を$k$の式で表せ．
(3)$z$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
(4)$z$の最小値を与える$x$の値は$2$つある．それらを$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$を求めよ．