平面上に等間隔に並ぶ$6$本の平行線があり，さらにそれらに直交し，それらと同じ間隔で並ぶ$6$本の平行線があるとき，次の設問に答えよ．

(1)これら$2$組の平行線で作られる長方形は何個あるか．
(2)そのうち正方形ではないものは何個あるか．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて$1$列に並ぶとき，


(i) 両端が$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．


(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，くじ引きで順番を決めて等間隔に輪の形に並ぶとき，


(i) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が正面に向かい合う確率は$\displaystyle \frac{[$18$]}{[$19$]}$である．

(ii) $\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$\displaystyle \frac{[$20$]}{[$21$]}$である．

半径$1$の円周上に$8$個の点があり，それぞれの点は隣り合う点とすべて等間隔に配置されている．それらの点には，反時計回りに$1$から$8$までの番号が順番についている．また，中の見えない袋の中に，$8$個の球が入っていて，それらの球には，$1$から$8$の番号が$1$つずつ書かれている．

(1)袋から同時に$3$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は，全部で$[$17$][$18$]$通りある．このとき，作られた三角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$19$]}-[$20$]}{[$21$]}$ & $\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{[$24$]}{[$25$]}$ & $\displaystyle\frac{[$26$]}{[$27$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$28$]}}{[$29$]}$ & $\displaystyle\frac{[$30$]}{[$31$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$32$]$ & $\displaystyle\frac{[$33$]}{[$34$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$35$]}+[$36$]}{[$37$]}$ & $\displaystyle\frac{[$38$]}{[$39$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}


(2)袋から同時に$4$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は，全部で$[$40$][$41$]$通りある．このとき，作られた四角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$42$]}}{[$43$]}$ & $\displaystyle\frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$47$]}+[$48$]}{[$49$]}$ & $\displaystyle\frac{[$50$][$51$]}{[$52$][$53$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\sqrt{[$54$]}$ & $\displaystyle\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$58$]}+[$59$]}{[$60$]}$ & $\displaystyle\frac{[$61$][$62$]}{[$63$][$64$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$65$]$ & $\displaystyle\frac{[$66$]}{[$67$][$68$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}

南北に平行に走る$5$本の同じ長さの線分が等間隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点は，$A_0$，$B_0$，$C_0$，$D_0$，$E_0$であり，北の端点は，$A$，$B$，$C$，$D$，$E$である．各線分を$4$等分する点を，南から順に，$1$番地，$2$番地，$3$番地と呼ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わなければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．$D$に家があるとする．$5$つの各スタート地点から家に到着することができるそれぞれの確率を，以下の場合に，求めなさい．

(1)同様に確からしく，$1$番地に$1$本の橋を置く場合
(2)同様に確からしく，たがいに独立に，$1$番地に$1$本，$2$番地に$1$本，$3$番地に$1$本の橋を置く場合

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．

(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．

半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．

図のように立方体の隣接する$3$つの面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする．次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ．
（図は省略）

(1)面$\mathrm{ABCD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ行く場合．
(2)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
(3)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．