$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 2)$と$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$から等距離にある$x$軸上の点を$\mathrm{P}$，$y$軸上の点を$\mathrm{Q}$，$z$軸上の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{PQR}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，ベクトル$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を用いて$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{z}+\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$と表されている．

(1)$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{z}$，$\overrightarrow{z} \cdot \overrightarrow{x}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から等距離にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．さらに長さ$\mathrm{OP}$を$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標がそれぞれ$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 2,\ 2)$，$(0,\ 3,\ 0)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標をすべて求めよ．

直線$\ell:y=2x+1$と$2$点$\mathrm{A}(1,\ 2)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$がある．

(1)直線$\ell$上にあり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$から等距離にある点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$を中心として，線分$\mathrm{AB}$に接する円の方程式を求めよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．

$a \neq c$とする．座標平面上で，焦点$\mathrm{F}(0,\ c)$と準線$y=a$とから等距離にある点$(x,\ y)$の軌跡は放物線であり，その式を$x^2=4p(y-q)$とおくとき，$\displaystyle q=\frac{a+c}{2}$となる．以下の問に答えなさい．

(1)この放物線と直線$y=c$の交点は，焦点$\mathrm{F}$と準線$y=a$とから等距離にあることに着目して，$p$を$a$と$c$の式で表しなさい．
(2)$a>c>b$とする．焦点$\mathrm{F}$，準線$y=a$の放物線を$L$で表し，焦点$\mathrm{F}$，準線$y=b$の放物線を$L^\prime$で表す．$L$と$L^\prime$の交点$\mathrm{T}$の$y$座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた交点$\mathrm{T}$における$L$の接線と$L^\prime$の接線は，直交することを示しなさい．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．