「等比数列」について
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私立 関西学院大学 2012年 第1問次の文章中の$[ ]$に適する式または数値を記入せよ．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
(1)実数$x$が不等式${(\log_2 x)}^2-\log_2 (4x)<0$を満たすとする．このとき，$\log_2 x$の範囲は
\[ [ア]<\log_2 x<[イ] \]
であるから，$x$の範囲は
\[ [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)数列$2,\ 3,\ 0,\ 9,\ -18,\ 63,\ -180,\ \cdots$を$\{a_n\}$とするとき，$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は初項$[オ]$，公比$[カ]$の等比数列である．したがって，$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[キ]$である．
(3)円$C$上に頂点をもつ正$8$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_8$の頂点から異なる$3$点を選び，それらを結んで三角形を作る．三角形の作り方は全部で$[ク]$通りある．これらの三角形のうち一辺が円$C$の直径になるものは$[ケ]$個ある．また二等辺三角形になるものは$[コ]$個ある．
私立 千葉工業大学 2012年 第2問次の各問に答えよ．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし，$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である．また，$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分，$y$軸，および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$，$a_2=1$，
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める．このとき，
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり，$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる．$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$，公比$[ス]$の等比数列であり，$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
私立 大阪工業大学 2012年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$\log_{10}a=\log_{100}a^r$，$\log_{10}3+2 \log_{100}4-\log_{10}6=\log_{100}M$と表すとき，$r=[ア]$であり，$M=[イ]$である．
(2)$a$を正の実数とするとき，$x=i(a+i)^3$が実数となる$a$の値は$[ウ]$であり，このとき$x$の値は$[エ]$である．ただし，$i^2=-1$とする．
(3)初項から第$3$項までの和が$21$，初項から第$6$項までの和が$189$である等比数列の初項は$[オ]$であり，公比は$[カ]$である．
(4)点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通る直線$\ell$が，中心$(1,\ 0)$，半径$1$の円と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}=[キ]$である．さらに，$\mathrm{PQ}=1$のとき，直線$\ell$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(1)$\log_{10}a=\log_{100}a^r$，$\log_{10}3+2 \log_{100}4-\log_{10}6=\log_{100}M$と表すとき，$r=[ア]$であり，$M=[イ]$である．
(2)$a$を正の実数とするとき，$x=i(a+i)^3$が実数となる$a$の値は$[ウ]$であり，このとき$x$の値は$[エ]$である．ただし，$i^2=-1$とする．
(3)初項から第$3$項までの和が$21$，初項から第$6$項までの和が$189$である等比数列の初項は$[オ]$であり，公比は$[カ]$である．
(4)点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通る直線$\ell$が，中心$(1,\ 0)$，半径$1$の円と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}=[キ]$である．さらに，$\mathrm{PQ}=1$のとき，直線$\ell$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
私立 大阪工業大学 2012年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$\log_{10}a=\log_{100}a^r$，$\log_{10}3+2 \log_{100}4-\log_{10}6=\log_{100}M$と表すとき，$r=[ア]$であり，$M=[イ]$である．
(2)$a$を正の実数とするとき，$x=i(a+i)^3$が実数となる$a$の値は$[ウ]$であり，このとき$x$の値は$[エ]$である．ただし，$i^2=-1$とする．
(3)初項から第$3$項までの和が$21$，初項から第$6$項までの和が$189$である等比数列の初項は$[オ]$であり，公比は$[カ]$である．
(4)点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通る直線$\ell$が，中心$(1,\ 0)$，半径$1$の円と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}=[キ]$である．さらに，$\mathrm{PQ}=1$のとき，直線$\ell$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(1)$\log_{10}a=\log_{100}a^r$，$\log_{10}3+2 \log_{100}4-\log_{10}6=\log_{100}M$と表すとき，$r=[ア]$であり，$M=[イ]$である．
(2)$a$を正の実数とするとき，$x=i(a+i)^3$が実数となる$a$の値は$[ウ]$であり，このとき$x$の値は$[エ]$である．ただし，$i^2=-1$とする．
(3)初項から第$3$項までの和が$21$，初項から第$6$項までの和が$189$である等比数列の初項は$[オ]$であり，公比は$[カ]$である．
(4)点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を通る直線$\ell$が，中心$(1,\ 0)$，半径$1$の円と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっているとき，$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}=[キ]$である．さらに，$\mathrm{PQ}=1$のとき，直線$\ell$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
私立 東京女子大学 2012年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$b$，公比$r$の等比数列$\{b_n\}$があり，数列$\{c_n\}$は$c_n=a_n+b_n$により定まる数列とする．$a,\ b,\ d,\ r$が全て正の整数で，$c_1=4$，$c_2=9$，$c_3=17$のとき，以下の設問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ d,\ r$の値を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(1)$a,\ b,\ d,\ r$の値を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
公立 高崎経済大学 2012年 第1問以下の各問に答えよ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
公立 岐阜薬科大学 2012年 第2問$xy$平面上の点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は放物線$y=x^2$上にあり，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の傾きは$\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}$である．点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とし，点$\mathrm{P}_1$が原点$\mathrm{O}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．
(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第3問$\{a_n\}$は，初項$a_1=-1$，公差$d$の等差数列で，$\{b_n\}$は，初項$b_1=2011$，公比$r$の等比数列とする．ただし，$d \neq 0,\ r \neq 0$とする．これらの数列が
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
\[ a_nb_{n-1}+3b_na_{n-1}-2b_{n-1}=0 \quad (n \geqq 2) \]
を満たしているとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$|b_n|<|a_n|$となる最小の$n$の値を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第3問初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし，初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{x_n\}$を
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．
\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．
(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．
\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．