初項$1$，公比$2$の等比数列を，次のように第$n$群が$n$個の数から成るように分ける．
\[ (1),\ (2,\ 2^2),\ (2^3,\ 2^4,\ 2^5),\ (2^6,\ 2^7,\ 2^8,\ 2^9),\ \cdots \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$2^{30}$は第何群に属するかを求めよ．
(2)第$n$群の最初の項を求めよ．
(3)第$n$群に属する項の総和を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{2n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で与えられている．一般項を求めると$a_n=[コ]$である．
(2)等比数列において，初項から第$n$項までの和が$27$，初項から第$2n$項までの和が$36$であった．第$2n+1$項から第$3n$項までの和は$[サ]$である．

数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．

(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が
\[ S_n=2a_n+n^2-n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．

(1)$a_1$と$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}-2a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となることを示し，初項$b_1$と公比を求めよ．
(4)$a_n$を$n$の式で表せ．

初項$3$，公比$2$の等比数列を$\{a_n\}$とし，
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．

(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．

以下の問いの空欄$[タ]$～$[ノ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$i$を虚数単位として，等式$(2+i)(x-3yi)=1-i$を満たす実数$x$および$y$の値を求めると$x=[タ]$，$y=[チ]$となる．
(2)平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ -1)$と直線$x-2y-2=0$がある．この直線上に点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$([ツ],\ [テ])$となる．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$の条件で，関数$y=\cos 2\theta-4 \sin \theta$の最大値と最小値を求めると，$\theta=[ト]$のときに最大値$[ナ]$をとり，$\theta=[ニ]$のときに最小値$[ヌ]$をとる．
(4)不等式$9^x \leqq 6+3^x$の解は$[ネ]$である．
(5)$3$つの数$x-3,\ x+1,\ x+6$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めると$x=[ノ]$となる．

すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．

(1)整数列$\{\alpha_n\},\ \{\beta_n\}$を次で定める．
\[ (5+2 \sqrt{6})^n=\alpha_n+\sqrt{6}\beta_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) 数列$\gamma_n=\alpha_n-\sqrt{6}\beta_n$は等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii) 一般項$\alpha_n,\ \beta_n$を求めよ．

(2)整数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$を次で定める．
\[ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{2}b_n+\sqrt{3}c_n+\sqrt{6}d_n \quad n=1,\ 2,\ \cdots \]

(i) $a_3,\ b_3,\ c_3,\ d_3$をそれぞれ求めよ．
(ii) 一般項$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を先の$\alpha_n,\ \beta_n$を用いて表せ．

公比が$1$より大きい等比数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，数列$\{b_n\}$は，初項が$3$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たす．$a_2=18$，$S_3=78$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n ka_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2b_k$を求めよ．