正の整数$m,\ n$が次の$2$つの条件を満たしている．
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
n \text{は} m \text{の倍数} \\
\text{等式} \displaystyle\frac{2n}{3}=\frac{n}{m}+1 \text{が成り立つ} \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$(*)$を満たす組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[　]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[　]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[　]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)等式$4x^2=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+4$が$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$の組を定めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，このとき$2$次方程式$4x^2+ax+b=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とすると，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}$の値は$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$2 \sin^2 x+5 \cos x+1=0$を解くと，$x=[　]$である．また，$0 \leqq y \leqq 2\pi$とするとき，不等式$\cos 2y+\sin y \geqq 0$を満たす$y$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時にとりだす．このとき，カードの数字の和が奇数となる確率は$[　]$である．また，カードの数字の和が奇数のときは，その$3$つの数の最大の値を得点とし，カードの数字の和が偶数のときには一律に$5$点を得点とするゲームを考えると，このゲームの期待値は$[　]$点である．

$p_1=4$，$q_1=-1$であり，自然数$n$に対して$\left\{ \begin{array}{l}
p_{n+1}=-p_n-6q_n \\
q_{n+1}=p_n+4q_n
\end{array} \right.$で定められた数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$を考える．

(1)すべての自然数$n$に対して等式$p_{n+1}+aq_{n+1}=b(p_n+aq_n)$が成り立つような実数$a,\ b$の組を求めよ．
(2)一般項$p_n,\ q_n$を求めよ．

0以上の整数$n$に対して
\[ a_n=\int_0^1 e^{-x}x^n \, dx \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)$a_0$と$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$と$a_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)等式
\[ \frac{a_n}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)次式が成り立つことを証明せよ．
\[ \maru{1} \ 0 \leqq a_n \leqq a_0 \qquad \maru{2} \ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} \right)=e \]

$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとき，
\[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \]
が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．

$n$を自然数とし，
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．

実数$x$に対して，$n \leqq x<n+1$を満たす整数$n$を$[x]$と書く． \\
以下の問に答えなさい．
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(1)$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域を図示しなさい．
補足：$2$つの等式$[x]=1,\ [y]=1$が表す領域とは，$[x]=1$ \\
および$[y]=1$を同時に満たす点$(x,\ y)$の全体のことである．
(2)等式$[y]=[x]$が表す領域を図示しなさい．
(3)右の図の斜線で示された領域$A$を表す等式を求めなさい．ただし，領域$A$には，斜線部分の境界上の点線で示された部分および白丸で表された点は含まれない．

等式$|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．