$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

実数 $a,\ b$に対して，$2$次正方行列$A$と列ベクトル$B$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2-a \\
1+a & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{c}
2b \\
b
\end{array} \right) \]
と定め，$E =\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．等式
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+B \]
により，座標平面上の点P$(x,\ y)$に対し点P$^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$が定まるものとする．次の問いに答えよ．

(1)$a = b = -1$のとき，点P$^\prime (3,\ 2)$となる点P$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$A^2 = kE \ (k \text{は実数})$を満たすとき，$a,\ k$の値を求めよ．
(3)どんな点Pに対しても点P$^\prime$が原点Oに一致しないための$a,\ b$の条件を求めよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

数列$\{a_n\}$を，
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, \nonumber \\
& & (n+3)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
によって定める．

(1)$b_n=n(n+1)(n+2)a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)等式
\[ p(n+1)(n+2)+qn(n+2)+rn(n+1)=b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つように，定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表せ．

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．

次のようなゲームを考える．成功の確率が$p \ (0<p<1)$，失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき，ゲームはAに有利であるといい，Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．

(1)Aから始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，ABABAB$\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ．
(2)Aから始めるが，Aが1回に対して，Bは2回試行を行えるとする．すなわち，ABBABB$\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．
(3)(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．

\setcounter{tokeikobango}{0}
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=x^2$
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=1$

(2)次の等式を満たす関数$f(x)$，および定数$a$を求めよ．
\[ \int_a^x f(t) \, dt = x^2-1 \]
(3)等式$\displaystyle f(x)=x^2-\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$x,\ y$は実数で，$x+2y=3$を満たすとする．さらに，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
2 & -1
\end{array} \right)$に対して等式$A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=-2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$が成り立つとする．

(1)$x,\ y$の値を求めよ．
(2)行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & x \\
1 & y
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示し，$P^{-1}AP$を求めよ．
(3)正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \cos 4t \, dt$の値を求めよ．
(2)次の等式が$t$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を定めよ．
\[ \sin^4 t \cos^2 t=a+b \cos 2t+c \cos 4t+d \cos 2t \cos 4t \]
(3)$x=\cos^3 t$とおいて，定積分$\displaystyle J=\int_0^1 (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．