以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．

実数の組$(x,\ y,\ z)$で，どのような整数$l,\ m,\ n$に対しても，等式
\[ l\cdot 10^{x-y}-nx + l\cdot 10^{y-z} + m\cdot 10^{x-z} = 13l+36m+ny \]
が成り立つようなものをすべて求めよ．

$i=\sqrt{-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)実数$\alpha,\ \beta$について，等式
\[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \]
とおくとき，等式
\[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \]
が成り立つことを示せ．
(3)2以上の自然数$n$について，等式
\[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \]
が成り立つことを示せ．

三角形OABの辺ABを$1:2$に内分する点をCとする．動点Dは$\overrightarrow{\mathrm{OD}} = x \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ (x \geqq 1)$を満たすとし，直線CDと直線OBの交点をEとする．

(1)実数$y$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}} = y \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定めるとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3 \]
(2)三角形OABの面積を$S$，三角形ODEの面積を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最大値と，そのときの$x$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

実数$x,\ y$に対して，等式
\[ x^2+y^2=x+y \cdots\cdots① \]
を考える．$t = x+y$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\maru{1}$の等式が表す$xy$平面上の図形を図示せよ．
(2)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとする．
\[ F = x^3+y^3-x^2y-xy^2 \]
を$t$を用いた式で表せ．また，$F$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．

座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を次のように定める．
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]

(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]

行列$X=\left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array} \right),\ Y=\left( \begin{array}{cc}
2 & 2 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，$A=XY$とする．行列$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & r \\
t & s
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{rr}
r & s \\
-1 & -s
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たし，かつ$P$が逆行列をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$r,\ s,\ t$は実数とする．

(1)$A$を求めよ．
(2)$B,\ P$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．