次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が方程式$\displaystyle \cos 2 \theta-2 \sin \theta=\frac{1}{2}$を満たすとき，$\sin \theta$の値を求めよ．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<\log_{\frac{1}{4}}(2-x)$を解け．
(3)$x$の多項式$x^4-px+q$が$(x-1)^2$で割り切れるとき，定数$p,\ q$の値を求めよ．
(4)空間内に$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$があり，次の等式を満たしている．
\[ \overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} \]
$\overrightarrow{\mathrm{EB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を用いて表せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$は零ベクトルである．

$x \geqq 0$において連続関数$f(x)$が不等式
\[ f(x) \leqq a+\int_0^x 2tf(t) \, dt \]
をみたしているとする．$g(x)=ae^{x^2}$とするとき，下の問いに答えよ．ただし，$a$は$0$以上の定数である．

(1)等式$\displaystyle g(x)=a+\int_0^x 2tg(t) \, dt$を示せ．
(2)$\displaystyle h(x)=e^{-x^2}\int_0^x 2tf(t) \, dt$とするとき，$x>0$において不等式$h^\prime(x) \leqq 2axe^{-x^2}$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において不等式$f(x) \leqq g(x)$が成り立つことを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，
\[ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos (n \theta)+i \sin (n \theta) \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法により証明せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(2)$\cos (n \theta)=0$をみたすような$\theta$をすべて求めよ．
(3)$t=\cos \theta$とする．(1)の等式を使って，$\cos 5 \theta=f(t)$をみたす多項式$f(t)$を求めよ．
(4)$f(t)=0$のすべての解を$\cos \alpha \ (0 \leqq \alpha \leqq \pi)$の形で表せ．また，それらを大きい順に並べよ．
(5)$\displaystyle \cos \frac{3}{10}\pi$を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-ax-a+8=0$が，異なる$2$つの正の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)次の等式を満たす実数$x$の値を求めよ．
\[ |x|+2 |x-2|=x+2 \]

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$D(A)=ad-bc$，$T(A)=a+d$と定める．実数$x,\ y$に対して行列$X$を$X=\left( \begin{array}{cc}
x & 1 \\
1 & y
\end{array} \right)$とおき，行列$E$を$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，行列$O$を$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して等式$A^2-T(A)A+D(A)E=O$が成り立つことを証明せよ．
(2)$D(X)<0$かつ$T(X)>0$となる$(x,\ y)$の領域を図示せよ．
(3)$X$が逆行列をもたないとき，$T(X^{2n})$の最小値を$n$を用いて表せ．ただし，$n$は正の整数である．

正の整数$n,\ p,\ q$について，等式
\[ (\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2n-1}=a_n \sqrt{p}+b_n \sqrt{q} \]
を考える．

(1)ある正の整数$a_n,\ b_n$が上の等式を満たすことを示せ．
(2)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$はただ一通りに定まることを示せ．
(3)$\sqrt{pq}$が整数でないとき，(1)の$a_n,\ b_n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．数列$\{a_n\}$が
\[ a_n=[\sqrt{n}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めなさい．
(2)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ S_n=\left( n+\frac{5}{6} \right)a_n-\frac{1}{2} {a_n}^2-\frac{1}{3}{a_n}^3 \]

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．