$a$は$1$より大きい実数とする．

(1)次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}<\int_1^a \frac{dx}{x}<\sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}=\int_1^a \frac{dx}{x}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}} \right) \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}} \]

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$についての多項式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$x+1$，$x^2-x+1$で割った余りが$x-1$のとき，$P(x)$を$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$で割った余りは$[ア]$である．
(2)関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
任意の実数$x$に対して，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt-3 \int_{-x}^0 f(t) \, dt=x^3$
(3)次の等式を満たす最大の整数$a$は$a=[ウ]$である．
\[ \left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{2a}{3} \right]=a \]
ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=7$，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=5$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上の点とするとき，$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SP}$の最小値は$[エ]$である．

$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．

等式
\[ n^2+(1+ai)n+b+2i=0 \]
を満たす整数$a,\ b,\ n$の組をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式
\[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \]
が成り立つことを示せ．
(2)行列$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3}+1 \\
\sqrt{3}-1 & 2
\end{array} \right)$と自然数$n$に対して，
\[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \]
を満たす実数$b_n$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
-2 & -1
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$n$を正の整数，$A^1=A$とする．

(1)等式$A(A-E)=A-E$が成り立つことを示せ．
(2)$A^{n+1}-A^n$を求めよ．
(3)$A^n$を求めよ．

$n$は正の整数とする．等式$\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x^2+\cdots +\comb{n}{n}x^n={(1+x)}^n$を用いて，次の等式が成り立つことを示せ．

(1)$\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\cdots +{(-1)}^n \cdot \comb{n}{n}=0$
(2)$\comb{n}{1}+2 \cdot \comb{n}{2}+3 \cdot \comb{n}{3}+\cdots +n \cdot \comb{n}{n}=n \cdot 2^{n-1}$
(3)$\comb{n}{0}+2 \cdot \comb{n}{1}+3 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +(n+1) \cdot \comb{n}{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$

四角形$\mathrm{ABCD}$が次の等式を満たすとき，四角形$\mathrm{ABCD}$はどのような形であるか．
\[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CD}^2+\mathrm{DA}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{BD}^2 \]