$t>0$において定義された関数$f(t)$は次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $t>0$のとき，すべての実数$x$に対して不等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t) \geqq 1+x \]
が成り立つ．
\mon[（イ）] $t>0$に対して，等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x \]
を満たす実数$x$が存在する．
このとき，$f(t)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\cos x+\cos y \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y}{2}=\frac{\sin x+\sin y}{\cos x+\cos y} \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)$\cos x+\cos y+\cos z \neq 0$を満たすすべての実数$x,\ y,\ z$に対して等式
\[ \tan \frac{x+y+z}{3}=\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\cos x+\cos y+\cos z} \]
は成り立つか．成り立つときは証明し，成り立たないときは反例を挙げよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とするとき，次の等式が成り立つとする．
\[ \frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3} \]
また，$A,\ B,\ C$のうち最も大きな角は$120^\circ$であるとする．このとき，$\cos A$，$\cos B$，$\cos C$の値をそれぞれ求めよ．

$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -6 \\
8 & 13
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
5 & 0 \\
0 & a
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
-1 & 4
\end{array} \right)$が等式$AP=PB$を満たしている．次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数で，$b \neq -4$とする．

(1)行列$P$の逆行列を$b$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$の値を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は互いに異なる実数で，$a>1$，$b>1$，$c>1$とする．次の等式が成り立つとき，比$\log_2a:\log_2b:\log_2c$を求めよ．
\[ \log_2a-\log_8b=\log_2b-\log_8c,\quad \frac{\log_2a}{\log_8b}=\frac{\log_2b}{\log_8c} \]
(2)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$とおく．このとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$と$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}$をそれぞれ$t$についての多項式で表せ．

(ii) $\displaystyle \frac{2x^4-3x^3-5x^2-3x+2}{x^2}$を$t$についての多項式で表せ．

(iii) $4$次方程式$2x^4-3x^3-5x^2-3x+2=0$の解を全て求めよ．