自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．

(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$

(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

異なる$n$個のものから異なる$r$個を取り出して並べる順列の総数
\[ \perm{n}{r}=n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1) \qquad \text{（ただし$n \geqq r \geqq 1$）} \]
に関して以下の問いに答えよ．

(1)$k>r$ならば$\displaystyle \perm{k}{r}=\frac{1}{r+1}(\perm{k+1}{r+1}-\perm{k}{r+1})$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \perm{r}{r}+\perm{r+1}{r}+\perm{r+2}{r}+\cdots +\perm{n+r-1}{r}=\frac{\perm{n+r}{r+1}}{r+1}$が成り立つことを示せ．
(3)次の等式がすべての自然数$k$に対して成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ k^4=\perm{k+3}{4}+A \times \perm{k+2}{3}+B \times \perm{k+1}{2}+C \times \perm{k}{1} \]
(4)$\displaystyle \frac{1^4+2^4+3^4+\cdots +n^4}{1+2+3+\cdots +n}$を$n$の$3$次式で表せ．

次の問いに答えなさい．

(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

$a$を定数とする．$2$次関数$f(x)$は等式
\[ f(x)=6(a+1)x^2-12x \int_0^1 f(t) \, dt+5a-2 \]
を満たすとする．このとき，$2$次関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)=-4x^3+f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt$を$a$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$g(x)$の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3)$3$次方程式$g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

$f(x)$と$g(x)$は$x$の整式で
\[ \begin{array}{l}
f(x)-f(0)=4x^3-5x^2+2x, \\
(2x-1)\{g(x)-g(0)\}=f(x)+2 \int_0^x (x-t)g^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$g^\prime(t)$は$g(t)$の導関数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)等式
\[ -\{g(x)-g(0)\}=f(x)-2 \int_0^x tg^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt \]
が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)$が極小値$\displaystyle \frac{9}{4}$をとるとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

$a,\ b,\ c,\ d,\ s,\ t$を実数とし，$b \neq 0$とする．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とし，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
s & -1
\end{array} \right)$は等式
\[ AB+BA=(a+d)B \]
を満たすとする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(a+d)x+ad-bc=0 \]
は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとし，列ベクトル$X=\left( \begin{array}{c}
1 \\
t
\end{array} \right)$は等式$AX=\alpha X$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$s$を行列$A$の成分を用いて表せ．
(2)$t$を$a,\ b,\ \alpha$を用いて表せ．
(3)$\left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=BX$とし，$P=\left( \begin{array}{cc}
1 & u \\
t & v
\end{array} \right)$とするとき，行列$P$は逆行列をもち，
\[ AP=P \left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right) \]
を満たすことを示せ．

直角三角形でない三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対応する角の大きさを$A$，$B$，$C$で表すことにする．このとき，次の$3$つの等式が成り立つことを証明せよ．

(1)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}=1-\frac{1}{\tan B \tan C}$

(2)$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C$

(3)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B \sin C}+\frac{\cos B}{\sin C \sin A}+\frac{\cos C}{\sin A \sin B}=2$

$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする．

(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．

(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．

(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．