等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．$S_4=1152$，$S_{10}=2640$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ．
(2)$a_n<100$を満たす最小の$n$を求めよ．
(3)$S_n$の最大値とそのときの$n$の値を求めよ．

初項が$4$，公差が$8$の等差数列を，初項から順に，$2n$個の項が第$n$群に含まれるように分けていく．

$4,\ 12 \ | \ 20,\ 28,\ 36,\ 44 \ | \ 52,\ 60,\ 68,\ 76,\ 84,\ 92 \ | \ \cdots$
{\small 第$1$群} \qquad {\small 第$2$群} \qquad\qquad\qquad {\small 第$3$群}

たとえば，$60$はこの数列の第$3$群の小さい方から$2$番目の項である．ただし，縦線$|$は群の区切りを表し，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．

(1)第$n$群の最初の項と最後の項を，それぞれ$n$を用いて表せ．
(2)第$n$群の項の総和$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle \frac{S_n}{n} \leqq 2012$を満たす最大の$n$を求めよ．
(3)$2012$は第何群の小さい方から何番目の項であるか答えよ．

$\{\theta_k\}$を初項$0$，交差$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の等差数列，$\{r_k\}$を初項$1$，公比$\displaystyle \frac{1}{2}$の等比数列とし，自然数$k$に対して，行列$A_k$，$B_k$を
\[ A_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & r_k \sin \theta_k \\
r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right),\quad B_k=\left( \begin{array}{cc}
r_k \cos \theta_k & -r_k \sin \theta_k \\
-r_k \sin \theta_k & -r_k \cos \theta_k
\end{array} \right) \]
とおく．$C_k=A_kA_{k+1}$，$D_k=B_k B_{k+1}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_k$を$k$を用いて表せ．
(2)$D_k$を$k$を用いて表せ．
(3)$m$を自然数とするとき，次の行列の和
\[ \left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^2+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^4+\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}} C_k \right)^6+\cdots +\left( \frac{1}{r_kr_{k+1}}C_k \right)^{2m} \]
を求めよ．
(4)$C_k^2D_k^2$を求めよ．
(5)次の行列の和
\[ C_1^2D_1^2+2C_2^2D_2^2+3C_3^2D_3^2+\cdots +nC_n^2D_n^2 \]
を$\left( \begin{array}{cc}
x_n & y_n \\
z_n & w_n
\end{array} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}z_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}w_n$を求めよ．
ただし，必要ならば，実数$a (a>1)$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a^n}=0$が成り立つことを用いてよい．

等差数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=1+3(n-1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の設問に答えよ．

(1)新しく数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=a_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} b_n$を求めよ．
(2)自然数$k$に対し，新しく数列$\{c_n\}$を
\[ c_n=a_{kn} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．このとき
\[ 800 \leqq \sum_{n=1}^{10} c_n \leqq 900 \]
となる$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3},\ \angle \mathrm{B}=\frac{\pi}{4},\ \mathrm{AB}=6 \sqrt{2}$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(2)空間のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$がある．$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -3)$，$\overrightarrow{b}=(0,\ 1,\ -1)$，$|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{c}$を成分で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$は初項が$8$，公差が$14$の等差数列とする．数列$\{b_n\}$は公比が正の等比数列とする．$a_1=2b_1$かつ$a_5=b_5$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x<2\pi$のとき，次の不等式を解け．
\[ 4 \sin^2 x+(2-2 \sqrt{2}) \cos x+\sqrt{2}-4 \geqq 0 \]
(2)$\{a_n\} (n \geqq 1)$は初項$3$，公差$4$の等差数列，$\{b_m\} (m \geqq 1)$は初項$1000$，公差$-5$の等差数列とする．

(i) $2$つの等差数列の共通項の個数を求めよ．
(ii) $2$つの等差数列の共通項の総和を求めよ．

(3)$3$人がじゃんけんをして，$1$人だけ勝者を決める．$3$人はそれぞれグー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．勝者がいない場合は再びじゃんけんをする．勝者が$2$人の場合はその$2$人でじゃんけんをする．$2$人でじゃんけんをしたとき，勝者がいない場合は再びその$2$人でじゃんけんをする．

(i) $1$回目のじゃんけんで勝者がいない確率を求めよ．
(ii) $2$回じゃんけんをしても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．
(iii) $n$は正の整数とする．$n$回じゃんけんを続けても勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

$n$を自然数，$c$および$d$を実数として，数列$\{a_n\}$を初項$c$，公差$d$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$3$，公差$2$の等差数列とするとき，以下の設問に答えなさい．

(1)$d \neq 0$のとき，
\[ \sum_{k=1}^n e^{a_k}=[$1$] \]
となる．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)数列$\{f_n\}$の第$n$項を$f_n=b_ne^{a_n}$と定義する．$d=-0.08$のとき，$f_n$の値が最大になるのは$n=[$2$]$のときである．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$と正の実数$p$に対して，$a_1=\log_4 (p \sin \theta)$，$a_2=\log_4 (\sin 2\theta)$，$a_3=\log_4 (\sin 3\theta)$とする．

(1)$a_1=a_2=a_3$となるのは，
\[ p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\quad \theta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi \]
のときである．
(2)$3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，
\[ p>\frac{[カ]}{[キ]} \]
となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは，
\[ \cos^2 \theta=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},\quad p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]} \]
のときである．
(3)$p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は
\[ a_1=\frac{[ツ]}{[テ]},\quad d=\frac{[トナ]}{[ニ]} \]
である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値
\[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \]
を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式
\[ x^2-[ヌ] x-[ネ]=0 \]
の解となっている．

初項$a$，公差$d$の等差数列$\{a_n\}$と，初項$b$，公比$r$の等比数列$\{b_n\}$があり，数列$\{c_n\}$は$c_n=a_n+b_n$により定まる数列とする．$a,\ b,\ d,\ r$が全て正の整数で，$c_1=4$，$c_2=9$，$c_3=17$のとき，以下の設問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ d,\ r$の値を求めよ．
(2)数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．